Контрольная работа: Поведение частицы в поле Кулона-Дирака

Запишем уравнение (8) в виде: .

,

Теперь будем строить асимптотическое решение уравнения (8). Представим решение Ф в виде  (10) и найдем его производные первого и второго порядка.

,

,

,

, (10)

Найдем : для этого посчитаем интеграл  с помощью метода неопределенных коэффициентов.

,

c учетом замен и разложения в ряд Тейлора:

,

,

В итоге, нашли Е:

 (11)

Уравнение (8) можно представить в виде:  (12) , исключив из него первую производную.

,

,

,

,

Сделаем замену:

,

, (12)

Сделаем замены   

Лемма 1. Справедливо равенство:

Выделяем слагаемые порядка

 (14)

Выделяем слагаемые порядка

 (15)

Затем решаем систему: , чтобы найти кратные точки поворота и главный член разложения  вблизи этой точки.

Представим в виде: . Тогда

Получаем новую систему:

,

,

,

,

,

где

В рассматриваемой задаче . Тогда точка  будет точкой поворота кратности два.

Сначала, устанавливаем связь между коэффициентами c и b:

,

Отсюда получаем, что

(16)

Замечание: данное условие (16) носит технический характер и требуется затем, чтобы кратная точка поворота, расположенная в точке -0.1 имела простой вид. Иначе, эта точка является корнем уравнения четвертого порядка.

Далее ищем

,

Получаем выражение для

(17)

Числитель  (обозначим его )- многочлен четвертой степени, с точкой поворота  кратности два, а также простыми точками поворота  Тогда его можно представить в виде

Найдем коэффициенты D, A, B разложения.

Учитывая найденную ранее связь между коэффициентами a и b, искомые коэффициенты квадратного многочлена принимают вид:

(18)

(19)

Теперь будем строить ВКБ-приближение для решения уравнения (12) или . Они верны около малых окрестностей точек поворота и вычисляются по следующей формуле [9],[10]:

(20),

где С-константа Необходимо посчитать, возникающие в (20) интегралы. Их вычисление проводим с помощью табличных интегралов [11] и метода неопределенных коэффициентов.

Вычислим первый интеграл из формулы (22):

Вычислим второй интеграл из формулы (22):

 (24)

Вычислим третий интеграл из формулы (22):

Таким образом, можем посчитать общий интеграл (21), используя (22)-(25):

(26)

Теперь посчитаем следующий интеграл из формулы (20):

(27)

Решаем интеграл (27) с помощью метода неопределенных коэффициентов:

С помощью замены сведем интеграл к табличному [11] и вычислим его:

(29)

Вычислим второй интеграл из формулы (28):

Вычислим третий интеграл из формулы (28):

Находим общий интеграл с помощью формул (28), (29)- (31):

Итак, найдем ВКБ-приближение решений уравнения (8)

(34)

Итак, мы нашли асимптотику решения рассматриваемой задачи во всей комплексной плоскости вне малых окрестностей точек ,  .

Теорема 1:

ВКБ-приближение для уравнения (8) имеет вид (33), (34).

4. Решение многоточечной спектральной задачи. Вычисление поправки в спектральной серии

Следующим этапом является построение асимптотического решения вблизи точек поворота .

Найдем точки поворота , как корни квадратного многочлена с коэффициентами, заданными формулой (18).

 (35)

 (36)

Из уравнения (12) следует, что около точек поворота

 (37)

Из этого вытекает, что главные члены асимптотических разложений вблизи (35),(36) записываются через функции Эйри [12]:

, (38)

А ,  - константы.

Лемма 1 .

Вблизи точек  асимптотическое решения уравнения (12) имеют вид (38). Следовательно, решение задачи (8) вблизи точек поворота будет иметь вид:

,

Затем необходимо построить решение уравнения (12) вблизи точки поворота  и найти спектральную поправку  .

Пусть . Разложим в ряд Тейлора в окрестности .

Сделав замены, уравнение (39) можно представить в следующем виде:

 (40)

Асимптотическое решение уравнения (40) будем искать в виде:

 (41)

Сделаем замену

. (42)

Тогда уравнение(40) принимает вид :

(43)

Главный член асимптотики находится из следующего уравнения:

 (44)

Задаем коэффициент  так, чтобы уравнение (44) приняло вид Вебера [7]:

. (45)

 (46)

Теперь ищем .

(47)

В итоге, получаем уравнение Вебера для главных членов асимптотики

(48)

Известно [7], что его общее решение выражается через функции параболического цилиндра

 (49)

Линии Стокса [9],[10] для уравнения (12) имеют следующий вид

Поскольку линии Стокса для для уравнения (12) имеют такой вид, то после согласования найденной асимптотики разложения, которые призводятся аналогично работе [3], приходим к условию:

(50)

Кроме того, получаем, что из (49) α2=0 и из (38) α2±=0.

Известно [12], что гамма-функция имеет полюсы только при

 (51)

Лемма 2. Спектральная поправка  удовлетворяют следующему равенству

 (52)

Из формул (49), (50) следует, что

(53)

Функции параболического цилиндра можно выразить через многочлены Эрмита [7]:

(54)

Теперь необходимо найти второй член в разложении (41). Из (40), (50),(53) следует, что  удовлетворяет уравнению:

(55)

Предположим, что частное решение этого уравнения можно представить в следующем виде:

 (56)

Тогда общее решение уравнения (55) имеет вид:

,(57)

где .  из-за условия согласования функции с ВКБ-приближением. Пусть , при условии, что поправка порядка входит .

Найдем частное решение путем непосредственного дифференцирования.

Получили систему уравнений для коэффициентов

Таким образом, общее решение  принимает следующий вид:

 (58)

Или решение можно выразить посредством полиномов Эрмита:

 (59)

Лемма 2.

Асимптотическое решение вблизи  имеет вид (41), где  задается формулой (54), а  задается формулой (59).

Следующим шагом вычисляется норма решения. Для этого необходимо разложить функцию  по степеням , с учетом замены (42) из-за справедливости равенства (10).  определено формулой (11), для удобства проведём такие замены, что

 (60)

 (61)