Контрольная работа: Поведение частицы в поле Кулона-Дирака

Поведение частицы в поле Кулона-Дирака

Содержание

Введение

. Квантовое усреднение

. Когерентное преобразование

. Построение ВКБ-асимптотики

. Решение многоточечной спектральной задачи. Вычисление поправки в спектральной серии

. Вычисление нормы. Формулировка итоговой теоремы

Заключение

Список литературы

Введение

В данной работе рассматривается поведение частицы в поле Кулона-Дирака, возмущенном однородными магнитными и неоднородными электрическими полями. Необходимо исследовать задачу на собственные значения в гильбертовом пространстве  для следующего гамильтониана частицы:

, (1)

где гамильтониан  задается соотношением , - малый параметр, характеризующий напряженность поля и заряд частицы; функция  определяет аксиальное возмущение данного поля Кулона-Дирака, причем  . На магнитный заряд  накладывается условие квантования  , где , .

Известно [1], что алгебра, возникающая при рассмотрении данной задачи, является алгеброй с квадратичными коммутационными соотношениями. Каждому представлению полученной алгебры можно поставить в соответствие спектральный кластер около уровня энергии невозмущенной частицы. Состояния системы (1) вблизи границ спектральных кластеров требуют дополнительного исследования, так как к ним невозможно применить стандартные интегральные представления.

Метод нахождения асимптотики спектра вблизи границ спектральных кластеров был предложен в работах [2], [3], где рассматривалась спектральная задача для двумерного возмущенного осциллятора [4] и задача о спектре атома водорода [5]. Этот метод был применен в данной работе для нахождения асимптотики спектра вблизи нижних границ спектральных кластеров для задачи (1) . Кроме того, формула, полученная для асимптотики собственной функции, будет глобальной.

Цель данной работы - найти асимптотику решения спектральной задачи

 , (2)

в области отрицательных энергий .

Введя предположение, что , и произведя регуляризацию задача (2) сводится к спектральной задаче

(3)

в гильбертовом пространстве , в котором скалярное произведение определяется следующим равенством:

(4)

где  - скалярное произведение в . Для  определяется оператор «действие» , где .

Оператор  задается формулой .

Спектр оператора  в гильбертовом пространстве  составлен из чисел

где собственные значения  кратны .

Так как собственные числа оператора - арифметическая прогрессия, то его название оператор «действия» является корректным.

.        Квантовое усреднение

В работах [1], [6] описана схема квантового усреднения. Следуя ей, находим обратимый оператор  и операторы  с точностью , которые задаются следующими формулами:

Получившийся оператор  называется усредненным оператором. Так как оператор  коммутативен старшей части , то решение спектральной задачи для оператора  с точностью  можно свести к решению спектральной задачи для оператора на собственных подпространствах оператора .

Для первого приближения по  справедливо:

где

В итоге спектральная задача (3) с точностью  приводится к новой спектральной задаче

Причем, . Собственные значения задачи (3) удовлетворяют следующему равенству , а связь между ее собственными функциями  и собственными функциями  задачи (4) определяется как . Здесь операторы ,  задаются явными формулами.

Следует отметить, что по построению операторы  и коммутируют. Операторы и  оба коммутируют с оператором момента , откуда вытекает, что  коммутирует с . В итоге, в задаче возникает операторная алгебра Карасева-Новиковой [1], в которой находятся все операторы, коммутирующие с  и . Образующие  этой алгебры подчиняются следующим коммутационным соотношениям:

Запишем усредненный оператор , как функцию, зависящую от образующих  операторной алгебры  :

,

при условии, что .

Задачу (4) можно рассматривать отдельно на каждом собственном подпространстве  операторов  и . Тогда все сводится к задаче

(5)

, где n,m - квантовые числа.

2.       Когерентное преобразование

Для решения полученной задачи (5) необходимо использовать когерентное преобразование

,(6)

где - это гипергеометрическое когерентное состояние, которое определяется следующим образом . - функция Бесселя [7], а весовая функция  выражается через гипергеометрическую функцию определенным образом.

Пусть k,m,n - целые числа, . Введена функция

Где F-гипергеометрический ряд [7]

Операция  определяется формулой , а - нормировочная константа:

А именно, весовая функция  - это решение следующего гипергеометрического уравнения:

Когерентное преобразование взаимно-однозначно отображает пространство  на пространство ???? антиголоморфных полиномов над ℂ степени не выше  с нормой .

Таким образом, после когерентного преобразования образующие , , , ,  становятся дифференциальными операторами первого и второго порядка, которые удовлетворяю следующим соотношениям:

Также необходимо, чтобы соблюдалось условие

Формула когерентного преобразования ( 6) позволяет точно найти решения первых двух уравнений (5) при любых амплитудах Φ. Таким образом, достаточно решить лишь третье уравнение системы (5), которое после когерентного преобразования в пространстве ???? имеет вид:

(8)

Здесь

3. Построение ВКБ-асимптотики

Полученное уравнение (8) является уравнением Гойна. Оно принадлежит классу уравнений Фукса [8], и все его особые точки являются регулярными особыми точками. В рассматриваемой задаче четыре особые точки, три из них конечные особые точки и бесконечность: , .

Предположим, что : , .

При  эти параметры удовлетворяют неравенствам . Пусть . Тогда числа b,c имеют порядок 1,а

Будем искать решение уравнения (8) в виде

, (9)

где , , где  - множество антиголоморфных в окрестности нуля функций.

Заданный оператор на множестве  является проектором на пространстве ????. В правую часть формулы (9) подставляется асимптотическое решение уравнения (8), а не асимптотическое решение уравнения -ого порядка, в которое преобразуется (8) под действием преобразования (9). Такая замена возможна, потому что аналогично [3] доказывается, что возникающие дополнительные слагаемые в уравнении вносят экспоненциально малый вклад в невязку.

При построении асимптотических решений уравнения (8) существенную роль играет их поведение вблизи особых точек. Исследуем многоточечную спектральную задачу вместе со спектральной задачей (8), (7). Ее суть заключается в поиске собственных значений , при которых у уравнения (8) существуют ненулевые антиголоморфные решения, характеристические показатели которых в особых точках равны нулю, а в особой точке  показатель равен .

Предположив, что собственные значения - это число , а функция  - асимптотическое решение такой многоточечной спектральной задачи, то при подстановке  в правую часть формулы (9) получаем многочлен  - асимптотическое решение уравнения (8) из пространства ????. Из условия нормировки (7) для  можно найти константу, содержащуюся в . Таким образом, число  и многочлен  являются асимптотическим решением исходной спектральной задачи (8), (7).