Материал: Основы гидрогазодинамики

Основы гидрогазодинамики

Содержание:

Введение

Гидравлика

Общие свойства и положения

Уравнение Бернулли

Измерение давления в потоках

Движение жидкости с учетом сил вязкости.

Течение Куэтта

Течение Хагена-Пуазейля

Гидравлические сопротивления и виды потерь напора

Сжимаемость

Модели движения газо-жидкостной среды

Термодинамические параметры потока

Типичные задачи на одномерное неустановившееся движение газа.

Движение газа в бесконечной трубе при заданном законе движения поршня.

Задача Лагранжа

Турбулентное течение несжимаемой жидкости

Введение.

В конце XIX века наука о движении жидкости распалась на две ветви, почти не связанные друг с другом – теоретическая гидродинамика и газодинамика, опиравшиеся на уравнения движения жидкости Эйлера, не учитывающие сил трения и гидравлику, носившую эмпирический характер. Теория не давала удовлетворительных данных, о потерях давления в трубах, о сопротивлении, которые оказывает жидкость или газ движущемуся в нем телу и т.д.

Были предприняты попытки учесть в теории трение жидкости (были записаны уравнения Навье - Стокса). Однако эти уравнения, вследствие больших математических трудностей не удавалось применить к подавляющему числу случаев течение жидкости или газа с трением. Кроме того не удавалось понять, как малые, особенно в газе, по сравнению с остальными силами (тяжести, движения) силы трения, которые в классической теории считалось возможным отбросить, оказали решающее влияние на течение реальной жидкости. В 1904 г. Прандтль показал, что течение в окружности тела можно разделить на две области. Область тонкого слоя вблизи обтекаемого тела (пограничный слой). Где трение играет существенную роль, и на область вне этого слоя, где трением можно пренебречь. Эта гипотеза в какой-то степени сгладила указанные выше противоречия и положила начало восстановлению связи.

Гидравлика Общие свойства и положения

Объем жидкости или газа может изменять свою форму под действием сколь угодно малых сил, но для изменения самого объема жидкости или газа необходимы конечные силы, т. е. жидкость и газ ведут себя как упругие тела. Изменение формы, не связанное с изменением объема, идет в форме элементарных деформаций сдвига, но при быстрых деформациях сдвига в жидкости или газе могут возникнуть силы, которые зависят не от величины деформации, а от скорости деформации, т.е. при скорости деформации стремящейся к нулю, силы деформации также стремятся к нулю, а при больших скоростях мы имеем конечное значение этих сил. Данные силы надо рассматривать не как упругие, а как силы внутреннего трения, которые называются силами вязкости.

Степень сжатия жидкости или газа определяет величину тех сил, с которыми одни части жидкости или газа действуют друг на друга или на соприкасающееся с ними тело. Если на некоторую площадку ∆S мы будем действовать силой ∆F, то:

при ∆S→0: – внешнее давление жидкости или газа, по сути, являющееся нормальным напряжением.

Все точки жидкости, лежащие в одной горизонтальной плоскости, находятся под одним давлением, которое на данной глубине распространяется во всех направлениях. Кроме того, в каждой точке жидкости существует давление, обусловленное собственным весом столба жидкости:

ρgh = P₂ и P₁+P₂= const=P_ст – гидростатическое давление;

P₁+P₂=P_ст – основное уравнение гидростатики.

P_ст обусловлено потенциальной энергией жидкости, находящейся под давлением. Распределение давления по высоте объясняет возникновение подъемной силы, которая действует на тело, погруженное в жидкость или газ. Величина подъемной силы равна по величине и обратна по направлению объему V вытесненной жидкости или газа. Эта сила – называется силой Архимеда:

P_n=ρgѴ - закон Архимеда.

Линия действия силы Архимеда проходит через центр тяжести погруженного тела.

Движение жидкости под действием перепада давления, силы тяжести, инерции и других сил можно описывать уравнениями Лагранжа или уравнениями Эйлера. Пространство, заполненное частицами движущейся жидкости и ограниченное системой поверхностей, называется потоком.

Линия, касательная к направлению вектора скорости частицы жидкости в каждой точке потока и в каждый момент времени, называется линией тока.

Путь, проходимый частицей жидкости в пространстве за определенный промежуток времени, называется траекторией.

В установившихся течениях, линии тока совпадают с траекториями движущихся частиц жидкости. Поверхность, образованная линиями тока, называется трубка тока. Объемный пучок линии тока, - называется струйка тока.

Малая площадка ∆S, представляющая собой поперечное течение струйки тока и перпендикулярная к линиям тока называется живым сечением линии тока.

Уравнение Бернулли.

Рассмотрим связь между скоростью в стационарном потоке невязкой и несжимаемой жидкости. Изменение энергии рассматриваемого элемента жидкости должно быть равно работе внешних сил:

U_i = ρ∙S_i∙v_i∙∆t∙g∙h_i –потенциальная энергия элемента жидкости.

T_i = ∙S_i∙v_i∙∆t∙g∙ – кинетическая энергия элемента жидкости, тогда

.

W = ΔU_i+ ΔT_i = [ρ(S₂∙v₂ h₂ – S₁∙v₁ h₁) + (∙S₂∙ - ∙S₁ )] g ∆t

Внешние силы давления, действующие на наш объем через сечение 1 совершают положительную работу А и действуют в сторону перемещающейся жидкости. Силы, действующие через сечение 2, совершают отрицательную работу -А.

Разница работ:

,

а, по закону сохранения, изменение энергии равно работе, действующей на систему сил:

∆W=∆A, значит мы можем записать:

- Уравнение Бернулли.

P+P_ст+P_дин=P₀, P₀ – полное давление.

Данное уравнение получено с учетом несжимаемости жидкости на основе закона сохранения энергии.

Рассмотрим идеализированную модель движения жидкости из сосуда, внизу которого находится отверстие для истечения жидкости.

S – площадь выходного отверстия.

Применим закон сохранения импульса. Имеем сосуд с жидкостью, поверхность которой имеет скорость Ѵ=0. На дне сосуда имеем отверстие площадью S, находящееся на глубине h от поверхности жидкости. Из данного отверстия вытекает струя жидкости, которая создает импульсы P. К движущейся жидкости применим закон сохранения импульса.

v= откуда: P=m v =2 Sgh,

По закону Ньютона результирующая сила давления жидкости на стенку равна этой же величине, но направлена в противоположную сторону. В отличие от идеальных, скорость истечения реальных жидкостей имеет меньшее значение, особенно это заметно на непрофилированных отверстиях имеющих низкое качество. Вводится коэффициент корреляции, учитывающий качество отверстия – «коэффициент истечения».

Измерение давления в потоках.

Статическое давление в потоке измеряется путем перфорации стенки трубопровода и присоединения измерительной трубки, в которой происходит подъем жидкости на высоту h.

Полное давление измеряется с помощью трубки Пито, открытый конец которой направлен на встречу потоку.

Технически трубки Пито оформляются аэродинамически более совершенно. На трубку ставят аэродинамический обтекатель, обеспечивающий минимальное возмущение потока.

Разность между полным давлением и давлением статическим измеряют трубкой Прандтля:

Разность двух статических давлений измеряют трубкой Вентури:

Рассмотрим движение жидкости в трубопроводе сложного профиля.

При движении в канале сложной формы изменения давления описываются формулой Бернулли, а приборы подтверждают это.

Движение жидкости с учетом сил вязкости.

При установившемся движении реальной жидкости или газа запас энергии в единицу массы не может оставаться постоянным, как при движении идеальной жидкости. Дело в том, что при движении реальной жидкости возникают силы внутреннего трения вследствие её вязкости, и возникает сопротивление движению, на преодоление которого затрачивается часть энергии. Прилегающий к стенке трубопровода слой жидкости практически не движется, он как бы прилипает к стенке. Внутренние слои жидкости движутся с постоянно увеличивающейся скоростью по мере удаления от стенки, т. е. наличие тангенсально направленных сил сопротивления приводит к тому, что прилипающий к стенке слой жидкости действует на соседний и на все другие слои. Обозначив потери вследствие трения как h_Тр мы будем иметь уравнение Бернулли для реальной жидкости в виде:

P₁+ρgh₁+ρ /2 = P₂+ρgh₂+ρ /2+h_Тр.

Т. е. запас энергии единицы массы жидкости уменьшается по направлению движения. Для выяснения распределения скорости между слоями жидкости и возникающие при этом силы рассмотрим задачи ламинарного течения (безвихревое, т. е. послойное течение вязких жидкостей, не сопровождающиеся турболизацией потоков и образованием вихрей) жидкости.

Рассмотрим ламинарное течение жидкости, течение Куэтта или течение чистого сдвига.

Имеем две пластины, между которыми находится жидкость. К одной из пластин приложили силу F, вследствие чего пластина будет двигаться относительно неподвижной со скоростью v, и в этом случае при наличии между пластинами вязкой жидкости, у нас в жидкости образуется линейный профиль скорости U(y) (скорость зависит линейно от расстояния до подвижной стенки). Это называется течением Куэтта.

Опыт подсказывает, что скорость в каждой точке:

При этом возникают касательные напряжения:

;

- закон трения Ньютона.

При линейной зависимости между напряжением (τ) и скоростями деформации - – жидкости называются Ньютоновские.

μ - коэффициент динамической вязкости;

– коэффициент кинематической вязкости жидкости.

Большинство окружающих нас жидкостей имеют связь между тензором напряжений (τ) и тензором скоростей линейную, и это основная масса жидкостей – Ньютоновские.

Существуют жидкости, в которых связь между этими тензорами нелинейная. Имеются вязкопластичные жидкости, в которых существует предельное напряжение сдвига, при превышении которого возникает текучесть жидкости. Это глинистые резервуары, грязи, масляные краски.

Дилатантные жидкости – жидкости у которых внутреннее течение (вязкость) увеличивается с ростом скорости.