Контрольная работа: Основные математические модели твердого тела

Площади элементарных площадок:

= пл. abcd =ρdθdz;= пл. a’b’c’d’ = (ρ+dρ)dθdz;= пл. a’d’bc = dρdz;= пл. a’cdb’ = пл. ac’d’b = ρ dθdρ.

Запишем условие равновесия, проецируя все действующие на элемент силы на оси ρ и z, принимая :

σρdθdz + (σ+ dρ)(ρ + dρ)dθdz - σdθdρdz - τdθdρ + (τ + dz)ρdθdρ = 0;

τρdθdz + (τ + dρ)(ρ + dρ)dθdz - σρdθdρ + (σ + dz)ρdθdρ = 0

Рис. 5

После алгебраических преобразований и сокращений, пренебрегая бесконечно малыми высших порядков, получим:

 +  +  = 0;

 +  +  = 0.

При решении некоторых осесимметричных задач в дальнейшем придется встретиться кроме цилиндрических координат со сферическими. В этой системе (рис.5) положение точки определяется радиусом вектором ρ и двумя углами θ и φ, определяющими его положение в пространстве. Угол φ отсчитывается от оси z (аналогичен географической широте), а угол θ отсчитывается от некоторой оси в плоскости, нормальной к оси z и проходящей через центр О системы (аналогичен географической долготе). Обозначения напряжений в сферических координатах получим, заменив индекс z в обозначениях, данных для цилиндрической системы, индексом φ.

При осесимметричном напряженном состоянии напряжения не зависят от координаты θ, а касательные напряжения, содержащие в индексе эту координату, т. е. τ = τ и τ = τ равны нулю.

Дифференциальные уравнения равновесия для осесимметричного напряженного состояния в сферических координатах приведем без вывода:

 +   +  .

3. Задача №14

В некоторой точке тела задан тензор напряжений:

, МПа.

Найти величину напряжений на элементарных площадках разрезов разного направления, которые можно провести через эту точку. Направляющие косинусы для этих площадок аи a равны, соответственно для N=(1; 0); N=(1; 0); N=(0,6; 0,9).

Решение:= 1 2) Ax = 0 3) Ax = 0,6= 0 Ay = 1 Ay = 0,8

 = Sxax + Syay

σ = σxax + σyay2 + 2τxyaxay

σ = 290×12 + (- 250× 02) + 2×470×1×0 = 290

σ= 290×02 + (- 250× 12) + 2×470×0×1 = -250

σ= 290×0,62 + (- 250× 0,82) + 2×470×0,6×0,8 = 395,6

Полное напряжение= σ12a12 + σ22a22= 2902 ×12 + (-2502×02) = 84100; S1=290= 2902 ×02 + (-2502×12) = 62500; S2=250= 2902 ×0,62 + (-2502×0,82) = 84100; S3=265,1

Нормальное напряжение

σ= σ1a12 + σ2a22

σн1 = 290×12 + (-250×02) = 290

σн2 = 290×02 + (-250×12) = -250

σн3 = 290×0,62 + (-250×0,82) = -55,6

Касательное напряжение

τ= σ12а12 + σ22а22 - (σ1а2 + σ2а22)

τ1 2= 2902×12 + (-2502×02) - (290×12 + (-250×02)) = 84390; τ1 = 290,5

τ2 2= 2902×02 + (-2502×12) - (290×02 + (-250×12)) = 62750; τ2 = 250,5

τ3 2= 2902×0,62 + (-2502×0,82) - (290×0,62 + (-250×0,82)) = 70331,6;

τ3 = 265.2

4. Задача №41

Напряженное состояние точки деформируемого тела определяется тензором напряжений:

Тσ =, МПа.

Определить вид деформации: упругая или пластическая, механическую схему деформации. Максимально возможная величина главного касательного напряжения при пластической деформации равно 212МПа.

Решение:

σ* = 2K = 2×212 = 424 Мпа

×σ = σ*; σ= σ*/ ; σ= 424/1,154 = 367,4;

σ + σ - σσ = σ;

3872 + 402 - 387×40 = 367,42;

 134982,8

Исходя из пункта 3, данная деформация является пластической.

5. Анализ операции осадки полосы

Анализ данного процесса производится с использованием приближенных уравнений равновесия и условия пластичности.

Для точек контактной поверхности имеется приближенное уравнение равновесия

. (1)

Принимаем tk = msz, где m - коэффициент трения.

После интегрирования получаем

. (2)

Находим постоянную интегрирования С. При  величина .

Тогда . (3)

Окончательно имеем:

. (4)

Эпюра напряжений  по уравнению (4) представлена на рис.1 кривой . Эпюра касательных напряжений  - кривая dem. Эпюры вычислены при  и .

Напряжения  и  увеличиваются к оси симметрии по мере удаления от края полосы. В точке b при , касательное напряжение , а нормальное напряжение .

При пластической деформации абсолютная величина касательного напряжения не может быть больше , т. е.  или . Необходимо соблюсти неравенство

. (5)

Решение неравенства (5) относительно х дает

. (6)

Обозначим ln(2m) / 2m = Y.

Тогда неравенство (6) перепишется

³ 0,5a - Yh. (7)

Значения Y, в зависимости от m, представлены в табл.1.

Таблица 1

Расстояние точки b от края контактной поверхности

(0,5а - хв) = Yh. (8)

Чем больше m, тем на меньшем участке поверхности действительно выражение tk = msS, и оно достигает предельного значения . При m = 0,5 касательное напряжение получает это предельное на краю заготовки в точке , т. е. при хв = ха = 0,5а.

В общем случае в точке , tk = const = - 0,5 .

После подстановки этого выражения в уравнение (2.1) и интегрирования имеем

. (9)

При x = xв, sz = sв. Следовательно,

. (10)

При tk= const нормальные напряжения изменяются по линейному закону (линия , касательная в точке  кривой ). Так как tк имеют разные знаки справа и слева от оси Z, при х = 0 tk переходит через 0. При tk = 0 и х = 0 имеем

 (11)

Функция sz имеет экстремум. Обе ветви sz плавно перейдут друг в друга.

На участке ОС

, (12)

где tс = - 0,5 - касательное напряжение в точке х = хc = .

Нормальное напряжение sz находим из уравнения

. (13)

. (14)

При x =xc = h, sz = sс. Таким образом

. (15)

Нормальное напряжение sz изменяется от sz = sс при хc = h до

sz = sо = sz = sс - 0,5

при х = 0 (кривая С¢О¢).

При х = хc = h получим из (15)

. (16)

Если не учитывать падения касательных напряжений, то при х = 0

. (17)

Сравнивая sо¢¢ = sо = sс, можно установить

sо¢¢ - sо = sо - sс = - 0,5. (18)

тело равновесие напряжение контакт

Таким образом, при осадке полосы эпюра напряжений разделяется в общем случае на три зоны (А, Б, В):

Участок А (зона скольжения)

,

, (19)

,

.

Участок Б (зона торможения)

 (20)

Участок В (зона прилипания)

 (21)

Анализ соотношений (19)-(21) дает следующие выводы по распределению напряжений в зоне контакта при осадке полосы неограниченной длины:

) при  и  эпюра напряжений состоит из трех участков А, Б, В (рис. 1). Удельное усилие деформирования находится по формуле:

; (22)

) при  и  эпюра напряжений состоит из двух участков - Б и В (рис. 2).

Удельное усилие деформирования при этом равно

; (23)

) при  и  эпюра напряжений состоит из двух участков - А, В (рис. 3). Удельное усилие находим из соотношения

; (24)

) при  при  эпюра напряжений состоит из одного участка - В (рис. 3). Удельное усилие равно

; (25)

) при  и любом  существует один участок:  и , т. е. .

Влияние роста коэффициента трения  в пределах малых значений. При  кривые для разных  стремятся к прямолинейной форме и лежат близко к кривой для .