Курсовая работа (т): Оптимизация потребления и свободное время. Теория Е. Слуцкого

В основу своего исследования Слуцкий положил три модели бессвязных рядов, как структурно подобных им эмпирических процессов, называя их первым (данные из таблиц тиражей выигрышных займов), вторым (данные с заменой четных цифр нулями) и третьим основным рядом (замена нечетных цифр нулями).

Обращаясь к связным рядам, происхождение которых весьма многообразно, стоит отметить, что особую роль, по мнению автора должен играть процесс скользящего сложении с теми или иными весами, путем которого возникают новые связные ряда из бессвязных или других связных рядов. Пусть, например, причины порождают следствия, причем размер каждого следствия определяется влиянием не только одной, а целого ряда предшествующих причин, как, например, величина урожая, помимо других обстоятельств, обуславливается не только одним, а целым рядом дождей. Если влияние причин выражается весами, то получается следующее:

Каждые два соседних следствия имеют по одной отдельной причине и по (n-1) общей. В силу этой общности между следствиями возникает корреляционная связь, даже если бы ряд был бессвязным. В простейшем случае, когда все веса равны друг другу (простое скользящее суммирование) коэффициент корреляции весьма наглядно выражает долю общих причин, а все дальнейшие коэффициенты равны нулю. При помщи такого скользящего суммирования произведенного над первым рядом получена наша первая модель (рис. 1).

В дальнейшем следствия становятся причинами. Повторяя над первой моделью простое скользящее суммирование по десяти, получаем тысячу чисел второй модели (рис.1).

Рис. 1. Первая и вторая модель

После формирования еще нескольких моделей (с помощью преобразования (1), чертеж 1, приложение) получили один интересный факт. Прежде всего, оказалось, что всякое простое многократное суммирование по n при любом n приводит к набору весов, стремящихся в пределе к кривой Гаусса. Десять комплектов весов, последовательно получившихся, изображены на рис. 2. Можно увидеть, как постепенно они приобретают форму, всё более и более уподобляющуюся Гауссовой кривой, а в десятом порядке подходят к ней уже довольно близко.

Этот результат далеко не случаен. По мнению автора можно доказать, что, если ряд весов располагается по кривой Гаусса, то и корреляционная функция подлежащего ряда будет с большим или меньшим приближением выражаться подобной кривой. Для рядов следствий, пропорциональных приращениям причины, то есть разностям членов предыдущего ряда, корреляционная функция выразится посредством ряда конечных разностей ординат кривой Гаусса.

Рис. 2. Пример скрещивания случайных весов. Результирующие полные весы причин в следствиях: 1-го, 2-го, … 10-го порядка

2.1 Постепенность и плавность как тенденции

Составленные автором модели, равносильные нескольким рядам экспериментов, дали индуктивное доказательство первому тезису, а именно, что сложение случайных причин может быть источником циклических, иначе говоря, волнообразных процессов.

Нетрудно усмотреть и внутреннее основание, с неизбежностью приводящее к этому результату. Е.Е. Слуцкий, прежде всего, рассмотрел ряд значений случайной переменной, друг с другом несвязанных. В качестве предпосылки было взято то, что распределение вероятностей не меняется и вследствие этого на протяжении ряда существует некоторый горизонтальный уровень - такой, что случайная величина с одинаковой вероятностью будет получать значения как выше, так и ниже его. Вероятность величине долго оставаться ниже или выше этого уровня ничтожна. Практически достоверно, что на протяжении сколько-нибудь длинного ряда величина будет много раз переходить от положительных отклонений к отрицательным и наоборот. Автор ввел термин полуволны, которая представляет собой последовательность нескольких значений одного знака, с обеих сторон соприкасающуюся со значениями противоположного знака. Так, автор на тысячу чисел третьего основного ряда нашел 540 полуволн.

Если величина может иметь более двух значений, и если на некотором более или менее значительном протяжении она случайно остается выше или ниже своего общего уровня, то у нее будет на этом протяжении свой временный уровень, около которого она будет колебаться. Так возникают на волнах одного порядка волны другого порядка. Рассмотренные бессвязно-случайные волны принято называть «беспорядочными зигзагами». Корреляционная связь между членами ряда лишает волны этого характера, внося в движение их подъемов и спадов момент постепенности. Для доходчивого объяснения этого факта автор рассматривает модель первого основного ряда. Любые члены модели, отстающие друг от друга дальше, чем на девять интервалов, друг с другом уже не связаны и образуют волны только что рассмотренного типа, то есть типа беспорядочных зигзагов. Но если взять их в общей связи с промежуточными членами, то обнаруживаются более или менее постепенные переходы от вершины волны к её основанию и наоборот, так как при коррелированности соседних членов ряда, малые различия между ними более вероятные, чем крупные.

От постепенности переходов следует отличать их плавность. Отсутствие плавности означает, что вслед за подъемом равновероятен дальнейший подъем и спуск. В результате получаются волны, унизанные зигзагами.

2.2 Наблюдения над фактами приблизительной правильности случайных волн и тенденция к синусоидальной форме

Если первый тезис, то есть утверждение возможности возникновения волнообразных более или менее плавных процессов в результате сложения случайных причин (величин), можно считать в значительной степени оправданным, то второй тезис - приблизительная правильность волн - представляет собой значительно большие трудности.

Проведя ряд эмпирических исследований, в которых составлялся список максимумов и минимумов с указанием расстояний между ними по оси абсцисс («длины полуволн») и по оси ординат («амплитуды»), автор получил приблизительную правильность циклов конъюнктуры. Также произведено сравнение третьей модели с первой гармоникой ряда Фурье, в соответствие с которым получено три области смены режимов около критических точек (чертеж 2, приложение 1) [13, с. 11]. Подведя итог проводимых экспериментов, Е.Е. Слуцкий получил следующее утверждение: «сложение случайных причин порождает волнообразные ряды, имеющие тенденцию на протяжении большего или меньшего числа волн имитировать гармонические ряды, сложенные из относительно небольшого числа синусоид, проявляя приблизительную периодичность». По прошествии большего или меньшего числа периодов определенный режим расстраивается, причем переход к другому режиму может происходить или постепенно от одного «среднего» режима к другому такому же или определенный режим может соблюдаться сравнительно строго, а переход от одного режима к другому происходит более резко около критических точек.

Проводя свой анализ Е.Е. Слуцкий также отметил, что наряду с констатированными тенденциями к постепенности и плавности, то есть линейности и параболичности ограниченных отрезков существует и третья тенденция - тенденция к синусоидальности. Автор отметил, что синусоидальный режим также должен постепенно расстраиваться - это общее свойство таких тенденций в отличие от строго закона; но, не противореча основному свойству связных рядов образовывать волны, синусоидальная тенденция при благоприятных условиях могла бы поддерживать один и тот же режим на протяжении целого ряда волн.

слуцкий случайный ряд потребление время

Глава 3. Решение проблемы с оптимизацией потребления и свободного времени

Е. Слуцкий в своей теории задается вопросом о математическом характере понятия вероятности. Он находит его весьма сомнительным и для иллюстрации обращается к классическому курсу акад. А.А. Маркова, прибегая к определениям, которые академик дает в своей работе:

-  «слово мы общеупотребительно в математике и не сообщает исчислению вероятностей никакой особой субьективности».

-       «Два события, говорит он, мы называем равновозможными, если нет никаких оснований ожидать одного из них предпочтительно перед другим» и примечание к ним «различные понятия, по мнению автора, определяются не столько словами, каждое из которых имеет в свою очередь потребовать определения, как нашим отношением к ним, которое выясняется постепенно».

В этих двух определениях Е. Слуцкий критикует Маркова за то, что в фундаментальных определениях появляется «субъективный элемент», неточность. Эту неточность он пытается исправить в примечании, на которое «нельзя в данном контексте смотреть иначе, как на логически едва ли правомерный выход для известного чувства неудовлетворенности автора своим собственным определением».

У Е. Слуцкого есть свой взгляд на появившееся затруднение, и он приводит свой способ « разрубить Гордиев узел» [3, с. 41].

Он вводит следующие предпосылки: определяется обычным способом понятие события или случая, понятия событий единственно возможных и событий совместимых и несовместимых. Он определяет, как любую альтернативу можно заменить другой, ей логически равносильной, путем замены одних событий другими, составляющими из альтернативно необходимые следствия или частные виды. На этом этапе нужно ввести понятие равновозможности, но Е. Слуцкий уходит от этого следующим образом: он рассматривает такие имеющие место соотношения, где каждому единственно возможному и несовместимому случаю сопоставлено некоторое число при условии, что если какой-то случай «разлагается» на альтернативу, то числа, сопоставленные с этой альтернативой в своей сумме дадут изначальное число. Проще говоря, в основе каждого сопоставления находится некоторое отношения, причем такое, что оно одинаково для всех случаев и обладает выше указанным формальным свойством, при этом остается в пределах своего исчисления, как чисто математической дисциплины, совершенно неопределенным.

Далее он вводит понятие равновалентных случаев - такие случаи, что если альтернатива может быть разложена на случаи единственно возможные и несовместимые и некоторое фундаментальное соотношение связывает с ними числа, равные между собой; и равновалентности события - отношение числа элементарных случаев, которые соответствуют событию, к всей совокупности единственно возможных и несовместимых событий.

Автор заключает отсюда, что «положенное таким образом основание с формальной стороны будет совершенно совпадает с классическим, вследствие чего и все чисто математические следствия его будут формально те же. Везде, где стояло слово вероятность, будет стоять слово валентность, все формулировки теорем, mutatis mutandis, останутся прежними, все доказательства прежними, изменится только то, что самое содержание исчисления уже никакого непосредственного отношения к вероятности иметь не будет ».

Е. Слуцкий уточняет, что смысл теорем для нас будет оставаться формальным, пока мы сами не придадим какого-либо значения отношению, тогда, когда мы придадим фиксированный смысл числам, составным членам альтернативы, то, если мы знаем в каком смысле эти числа будут валентны, мы можем говорить о равновалентности.

Новую полученную науку Е. Слуцкий называет «исчислением альтернатив». В этой науке, ссылаясь при этом на теорию групп, формальное понятие валентности может иметь не одно значение, отсюда следует, что и значения теорем, связанных с понятием валентности тоже многосмысленны.

Е. Слуцкий берется «набросать в немногих штрихах несколько возможных истолкований исчисления альтернатив». В первую очередь, конечно, классическая форма. Заменив понятие равновалентности понятием равновозможности, он получают две точки зрения: материальную и формальную.

Пусть существуют два единственно возможных равновозможных события и возможность одного меньше или равна возможности другого, пусть каждое из событий разлагается на одинаковое число единственно возможных, несовместимых и равновозможных событий. Только тогда автор говорит о возможности ввести понятие «вероятность» в его математическом аспекте: «Допустим, что «возможность» может быть выражена числом. Допустим, что «возможность» всякого события равна сумме «возможностей» тех единственно возможных и несовместимых событий, на которых оно разлагается [11, с. 140]. Имеем готовое формальное математическое исчисление со своими понятиями аксиомами». Теперь можем взять наше понятие «возможности» и предположить, что для него будут иметь силу все аксиомы, которые лежат в основе формального исчисления альтернатив. Автор находит, что с математической точки зрения, этого достаточно для перехода от исчисления альтернатив к исчислению вероятностей. Теперь остается определить материальную сторону поставленного вопроса, сторону более сложную ведь, чтобы понять действительно ли все вышеуказанные понятия и аксиомы подходят рассматриваемому автором понятию «возможности», нужно для себя определить, что подразумевается под этим понятием. Следовательно, меняется подход к поставленному вопросу, он должен быть не математический, а феноменологический и философский. Это один из примеров истолкования альтернативы, далее автор рассматривает еще несколько.

Он вводит понятие частности: пусть существует ряд испытаний, которые повторились определенное число раз, тогда эти числа и будут частностями этих испытаний. Каждое событие имеет одну определенную частность, в свою очередь несколько событий могут иметь одинаковую частность. Если одно событие разлагается на несколько других событий, единственно возможных и несовместимых, то частность этого события будет равна сумме частностей событий, на которые оно разлагается. Получается, что понятие частность удовлетворяет всем условиям, введенным для понятия валентности в теории альтернатив, следовательно, можно заменить понятие валентности понятием частности и получить для него набор теорем и аксиом для нововведенного понятия. Так как в исчисление альтернатив входят и другие самостоятельные понятия, то получается, что «параллельное» понятие будет параллельным только пока «простирается общий базис определений и аксиом» [8, с. 121].

Последним примером Е. Слуцкий вводит еще одно истолкование: пусть есть некое повторение испытаний любое число раз при некоторых постоянных условиях, существует закон, по которому появление каждого из альтернативно возможных событий, которое относится к числу испытаний, будет приближаться к некоторому пределу по мере увеличения общего числа всех испытаний. Таким образом, введенная автором относительная частность будет удовлетворять всем выше обсуждаемым условиям и пока простирается общий базис определений и аксиом, они будут выполняться и для относительной частности.

Появляется некоторая проблема параллелизма, Е. Слуцкий говорит о необходимости пересмотра всех основоположений исчисления вероятности, создания строгой аксиоматики и приведения всей его структуры в более или менее легко обозримую математическую форму. Для этого необходима полная формализация понятий и исключение не чисто математических проблем. «Ни вероятность, ни потенциальная предельная частность такой формальной природой не обладают. Исчисление вероятностей должно быть превращено в исчисление альтернатив, как выше указано, и тогда оно войдет в систему математических наук, как логически равноправный член ее, и получит ту законченность, которой ему до сих пор недоставало» [13, с. 41].

Е. Слуцкий призывает к введению теории альтернатив в пользу того, что это упростит разрешение «запутанных вопросов логики исчисления вероятностей». Для нескольких параллельных понятий будут совершенно разные потоки мыслей, разные толкования аксиом, определений, доказательств, но для них останется общая схема и ход рассуждений.

Допускается, что его могут упрекнуть, за то, что, формализуя исчисление теории вероятностей, он может упустить другие существенные вопросы, но в свою защиту он отмечает, что невозможно разрешение сложных вопросов без предварительного решения более простых. К тому же он отмечает, что проблемы связанные с соотношением понятия вероятности и действительности носят не математический характер, так же незаменимость категорий вероятности понятием предельной частности может быть разрешена только логическим и феноменологическим анализом.