Материал: модуль№2

Модуль з прикладного моделювання Студентки групи еп-203 Горбунової Юлії

Варіант 7

Номер групи=3, номер студента=7.

1.Побудувати математичні моделі прямої та двоїстої задачі.

Пряма:

Цільова функція: Z=24x1+12x2+29x3+17x4->max

Обмеження:

2x1+3x2+3,5x3+4x4≤421

5x1+3x2+4x3+2x4≤527

1,5x1+3x2+2,5x3+x4≤500

Xj≥0, j=1,2,3,4

Xj- обсяг виробництва продукції j-го виду

Двоїста:

Транспонована матриця для двоїстої функції:

Цільова функція: F=421y1+527y2+500y3->min

Обмеження:

2y1+5y2+1,5y3≥24

3y1+3y2+3y3≥12

3,5y1+4y2+2,5y3≥29

4y1+2y2+y3≥17

Yi≥0, i=1,2,3

Xi-оцінка одиниці i-го виду ресурсу.

2. Записати оптимальні плани прямої та двоїстої задач, виконати їх економічний зміст.

Остаточна симплекс-таблиця(в кінці є фотографії з рахуванням її(*) та знаходження оптимального плану через Ексель(**)):

З таблиці маємо:

Х*= (16,89;0;110,63;0;0;0;198,08), max Z=3613,79=24*16,9+0*12+29*110,6+17*0

Y*= (29;24;0) * =(5,29;2,79;0), min F=421*5,29+527*2,79+500*0=3613,79=max Z

Оптимальний план прямої задачі передбачає виробництво лише 2 видів продукції Р1 і Р3 у кількості відповідно 16,89 і 110,63. Випуск продукції Р2 і Р4 не передбачається(бо х2=х4=0). Додаткові змінні х5, х6, х7 характеризують залишок (невикористану частину) ресурсів відповідно 1, 2 та 3. Оскільки х7=198,08, третій ресурс використовується у процесі виробництва продукції не повністю, а перший та другий ресурси-повністю(бо х5=х6=0). За такого оптимального плану виробництва продукції та використання ресурсів підприємство отримує найбільший дохід у розмірі 3613,79.

План двоїстої задачі дає оптимальну систему оцінок ресурсів, що використовуються у виробництві. Так, у1=5,29 та у2=2,79 відмінні від 0, тобто ресурси 1 та 2 використовуються повністю. Двоїста оцінка у3=0 і відповідний вид ресурсу не повністю використовується при оптимальному плані виробництва продукції. Це підтверджується також попереднім аналізом додаткових змінних оптимального плану прямої задачі. Така оптимальна система оцінок дає найменшу загальну вартість усіх ресурсів, що використовуються на підприємстві: min F=3613,79.

3. Визначити статус ресурсів, шо використовуються для виробництва продукції, та рентабельність кожного виду продукції.

Статус ресурсів:

1 спосіб:

Підставимо знайдені Х у систему обмежень прямої задачі:

2*16,89+3*0+3,5*110,63+4*0=421 (ресурс 1 дефіцитний)

5*16,89+3*0+4*110,63+2*0=527 (ресурс 2 дефіцитний)

1,5*16,89+3*0+2,5*110,63+0=301,91<500 (ресурс 3 недефіцитний)

2 спосіб:

x5 та х6 дорівнюють 0 в прямій задачі, тому вони є дефіцитними. А х7 не дорівнює 0, тому ресурс є недефіцитним

3 спосіб:

У1=5,29 (ресурс 1 дефіцитний)

У2=2,79 (ресурс 2 дефіцитний)

У3=0 (ресурс 3 недефіцитний)

Отже, якщо запас першого дефіцитного ресурсу збільшити на одну умовну одиницю (b1 = 421 + 1 = 422), то цільова функція max Z збільшиться за інших однакових умов на у1 = 5,29.І становитиме max Z = 3619,08. Визначмо зміни в оптимальному плані виробництва продукції, так щоб збільшився дохід підприємства. Інформацію про це дають елементи стовпчика «х5» останньої симплекс-таблиці, який відповідає двоїстій оцінці у1 = 5,29. У новому оптимальному плані значення базисної змінної х3 збільшиться на 0,53, змінної х1 — зменшиться на 0,42, а х7 — зменшиться на 0,68. При цьому структура плану не зміниться, а нові оптимальні значення змінних будуть такими: Х* = (16,47; 0; 111,16; 0; 0; 0; 197,4).

Отже, збільшення запасу першого дефіцитного ресурсу за інших однакових умов приводить до зростання випуску продукції Р3 та падіння виробництва продукції Р1, а обсяг використання ресурсу 3 збільшується. За такого плану виробництва максимальний дохід підприємства буде max Z = 24*16,47 + 12*0 + 29*111,16 + 17*0 = 3619,08, тобто зросте на у1 = 5,29.

Проаналізуємо, як зміниться оптимальний план виробництва продукції, якщо запас дефіцитного ресурсу 3 за інших однакових умов збільшити на одну умовну одиницю (b2 = 527 + 1 = 528). Аналогічно попереднім міркуванням, скориставшись елементами стовпчика «х6» останньої симплекс-таблиці, що відповідає двоїстій оцінці у2 = 2,79, можна записати новий оптимальний план: Х* = (16,68; 0; 111; 0; 0; 0; 198,05). max Z = 24*16,68+ 12*0 + 29*111 + 17*0 = 3619,32. Отже, дохід підприємства збільшиться на 5,53 за рахунок збільшення виробництва продукції P1 на 0,37 та зменшення випуску продукції P3 на 0,21. При цьому обсяг використання ресурсу 3 не змінюється.

Рентабельність ресурсів:

1 Спосіб:

2*5,29+5*2,79+1,5*0=24=24 (продукція Р1 рентабельна)

3*5,29+3*2,79+3*0=24,24>12 (продукція Р2 нерентабельна)

3,5*5,29+4*2,79+2,5*0=29=29 (продукція Р3 рентабельна)

4*5,29+2*2,79+0=26,74>17 (продукція Р4 нерентабельна)

2 Спосіб:

Y4=0; y5=11,68; y6=0; y7=9,11

Так як у4 та у6 дорівнюють 0, то ці види продукції рентабельні, а у5 та у7 більше 0, тому ці види нерентабельні.

4. Інтервали стійкості двоїстих оцінок стосовно змін запасів ресурсів.

Розрахуємо інтервали можливої зміни обсягів дефіцитних ресурсів, у межах яких двоїсті оцінки уi залишаються на рівні оптимальних значень. Приріст (зміну) запасу ресурсу 1 позначимо ∆b1. Тоді, якщо b`1=b1+∆b1, то новий оптимальний план Х*= (16,89-0,42∆b1;0;110,63+0,53∆b1;0;0;0;198,08-0,68∆b1). Єдина вимога, яку можна поставити до можливих нових оптимальних значень, — це умова невід’ємності, тобто:

16,89-0,42∆b1≥0

110,63+0,53∆b1≥0

198,08-0,68∆b1≥0

∆b1≤40,2

∆b1≥-208,78

∆b1≤291,2 -208,78≤∆b1≤40,2. Це означає, що коли запас ресурсу 1 збільшиться на 40,2 або зменшиться на 208,78, то оптимальною двоїстою оцінкою ресурсу 1 залишиться у1 = 5,29. Отже, запас ресурсу 1 може змінюватись у межах

421-208,78≤b1+∆b1≤421+40,2 212,22≤b1≤461,2. Згідно з цим максимально можливий дохід підприємства перебуватиме в межах

3613,79-5,29*208,78≤Zmax≤3613,79+40,2*5,29

2509,3438≤Zmax≤3826,448, а оптимальний план виробництва продукції (104,58; 0; -0,02; 0; 0; 0; 340,05) ≤Х*≤ (0,006; 0; 131,94; 0; 0; 0; 170,7). Аналогічно розраховується інтервал стійкості двоїстої оцінки у2 = 2,79 дефіцитного ресурсу 2:

16,89-0,21∆b1≥0

110,63+0,37∆b1≥0

198,08-0,026∆b1≥0

∆b1≤80,4

∆b1≥-299

∆b1≤7618,4 -299≤∆b1≤80,4

228≤b1≤607,4. Отже, якщо запас ресурсу 2 збільшиться на 80,4 або змен­шиться на 299, то двоїста оцінка у2 = 2,79 цього ресурсу залишиться оптимальною. Згідно із цим можливий дохід підприємства та оптимальний план виробництва продукції перебуватимуть у межах

-307,21≤Zmax≤751,32 (79,68; 0; 0; 0; 0; 0; 205,85) ≤ Х* ≤ (0,006; 0; 140,38; 0; 0; 0; 195,99). Зауважимо, що визначені інтервали стосуються лише випадків, коли змінюється тільки один ресурс, а запаси всіх інших фіксовані, тобто за інших однакових умов. У разі одночасної зміни обсягів усіх або кількох ресурсів підхід до визначення нового оптимального плану дещо інший.

5. Lнтepвали можливих змін ціни кожного виду продукції.

Під впливом різних обставин ціна одиниці продукції на підприємстві може змінюватися, тому порахуємо інтервали цих змін при оптимальному такому ж самому оптимальному плані: Х*= (16,89;0;110,63;0).

Для визначення інтервалів зміни коефіцієнтів цільової функції скористаємося тим, що при цьому симплекс-таблиця, яка відповідає оптимальному плану, зберігає свій вигляд за винятком елементів оцінкового рядка. Нові оцінки (Zj-Cj) мають задовольняти умові оптимальності задачі максимізації, тобто бути невід’ємними. Зміну коефіцієнта С2 позначимо ∆С2. Оскільки х1 небазисна змінна, то в симплекс-таблиці зміниться лише відповідна оцінка Z2-C2:

(Z2-C2) =29*0,95+24*(-0,16) +0*(0,87)-( ∆С2+12)= (-∆С2)+11,7[11,71≈11,7≈11,68] ≥0

За умови Z2-C2≥0 дістанемо нерівність 11,7-∆С2≥0, тобто ∆С2≤11,7. Це означає, що коли ціна одиниці продукції Р1 за інших однакових умов зросте не більше як на 11,7 грн, то оптимальним планом виробництва продукції на підприємстві все одно залишиться таким же. Лише максимальний дохід зміниться на max∆Z=∆С2x2.

Розраховуємо інтервали зміни коефіцієнта ∆С4:

(Z4-C4)=29*1,68+24*(-0,95)+0*(-1,79)-( ∆С4+17)= (-∆С4)+9[8,92≈9≈9,11] ≥0, ∆С4≤9

Зі зростанням ціни одиниці продукції Р4 на 9 грн за інших однакових умов оптимальний план виробництва продукції не зміниться, а max ∆Z = ∆С4х4. Дещо складніше розраховується інтервал зміни коефіцієнтів для базисних змінних. У цьому разі зміни відбуваються також у стовпчику «Сбаз» симплекс-таблиці, а це стосується всіх ненульових оцінок Zj – Cj. Так, для базисної змінної х1 зміна коефіцієнта на ∆С1 приведе до таких оцінок: (Z2 – C2) = 29*0,95+24*(-0,16)+(0+∆С1)*0,87-12 =11,68-0,16∆С1 ; (Z4 – C4) =9,11-0,95∆С1; (Z5 – C5) =5,16-0,42∆С1; (Z6 – C6) =2,74+0,37∆С1. Нові значення оцінок мають задовольняти умову оптимальності, тобто Zj – Cj  ≥0. Тому інтервал для ∆С1 визначається з такої системи нерівностей:

11,68-0,16∆С1≥0

9,11-0,95∆С1≥0

5,16-0,42∆С1≥0

2,74+0,37∆С1≥0

∆С1≤73

∆С1≤9,59

∆С1≤12,29

∆С1≥-7,41

-7,41≤∆С1≤9,59

-7,41+24≤С1≤9,59+24

16,59≤С1≤33,59

Отже, ціна одиниці продукції Р1 може збільшуватися на 9,59 грн та зменшуватися на 7,41 грн і перебувати в межах від 16,59 до 33,59, але оптимальним планом виробництва продукції залишається таким же. Для базисної невідомої х3 інтервал зміни коефіцієнта С3 розраховується аналогічно:

11,68+0,95∆С3≥0

9,11+1,68∆С3≥0

5,16+0,53∆С3≥0

2,74-0,21∆С3≥0

∆С3≥-12,3

∆С3≥-5,42

∆С3≥-9,78

∆С3≤13

-5,42≤∆С3≤13

23,58≤С3≤42

Якщо за інших однакових умов ціна одиниці продукції Р3 змен­шиться до 23,58 або збільшиться до 42, то оптимальний план виробництва продукції на підприємстві не зміниться.

Якщо коливання ціни продукції виходять за визначені межі, то план Х * вже не буде оптимальним і його необхідно буде поліпшити згідно з алгоритмом симплекс-методу.

*Рахування остаточною симплекс-таблиці:

** Знаходження оптимального плану через Ексель: