Материал: Моделирование систем управления. методические указания к выполнению лабораторной работы. Петрухнова Г.В., Подвальный С.Л

U – управляющее воздействие (напряжение питания), Р – мощность нагревательного элемента,

tокр – возмущающее воздействие (температура окружающего воздуха),

tводы – управляемая величина (температура воды),

РОУ – регулирующий орган (нагревательный элемент), ОУ – объект управления водонагреватель), ЗО – задающий орган (ограничивающее сопротивление).

Рис. 2. Водонагреватель в виде функциональных блоков

1.2. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ САУ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЕМ И ПЕРЕДАТОЧНОЙ ФУНКЦИЕЙ

САУ может быть смоделирована (представлена) дифференциальным уравнением. При составлении дифференциального уравнения объекта необходимо, прежде всего, выявить физический закон (или совокупность законов), определяющий его поведение. Таким законом может быть, например, закон сохранения энергии, закон равновесия электродвижущих сил и другие основные законы физики. Математическое выражение соответствующего физического закона и является исходным дифференциальным уравнением управляемого объекта.

Очень важной категорией в теории автоматического управления и регулирования является понятие передаточной функции. Передаточная функция является своего рода матема-

6

тической моделью САУ, т.к. полностью характеризует динамические свойства системы.

Под передаточной функцией элемента или системы понимают отношение операторного (лапласового) изображения соответствующей выходной величины к операторному изображению входной величины.

При этом также считают, что элемент или система находились при нулевых начальных условиях, т.е. элемент или система находились в установившемся состоянии, т.е. в состоянии покоя.

Следовательно, передаточная функция определяется в виде отношения (1):

(1)

Предположим, что линейная САУ описывается дифференциальным уравнением n-го порядка с постоянными коэффициентами и это уравнение имеет следующий вид:

(2)

где – выходная величина звена (системы);

– входная величина звена (в отклонениях от состояния равновесия);

записывают в левой части уравнения, а все остальные члены – в правой.

Запись уравнения в форме (2) неудобна, особенно когда возникает необходимость исследовать взаимодействие отдельных звеньев системы при их соединении в различные цепи. Кроме того, решения уравнений с порядком выше третьего значительно усложняется и требует применения вычислительной техники. Поэтому для упрощения решения уравнения (2) используют средства описания динамических свойств системы через преобразование Лапласа. Основанием для этого служит то обстоятельство, что такое преобразование существенно облегчает исследование сложных систем, поскольку дифференциальные уравнения заменяются алгебраическими.

Преобразование Лапласа – это интегральное преобразование, связывающее функцию F(p) комплексного переменного (изображение) с функцией f(x) действительного переменного (оригинал).

Преобразованием Лапласа от функции f(x) (оргигинала) называется функция:

са. f(x) и F(p) однозначно определяются друг относительно друга, то есть если известен оригинал f(x), то всегда можно узнать F(p), и наоборот, если известно F(p), то всегда можно получить f(x).

Преобразование Лапласа для типовых математических операций, а также для функций, часто встречающихся в задачах автоматического регулирования можно найти в учебниках.

Пользуясь преобразованием Лапласа, представим дифференциальное уравнение (4) в операторном виде:

8

(4)

или

(5)

где

(5)

есть оператор дифференцирования.

Для системы, описываемой операторным уравнением (6), передаточная функция будет иметь следующий вид:

(6)

Следовательно, передаточная функция равна отношению двух полиномов:

(7)

(8)

Как видно из уравнения (6), передаточная функция является дробно-рациональной функцией от независимого переменного p. Числитель передаточной функции является левой частью уравнения элемента или системы, а знаменатель - правой частью.

Уравнение

9

(9)

называется характеристическим уравнением звена или характеристическим полиномом звена.

В системах автоматического управления степень полинома знаменателя в выражении (6) всегда выше или равна степени полинома числителя, т.е.

.

Из приведенных соотношений также видно, что пере-

даточную функцию легко получить из дифференциального уравнения простой формальной заменой производных опе-

ратором р в соответствующей, а изображение выходной величины определяется передаточной функцией и изображением входной величины:

(10)

Запись соотношений между выходом и входом звена в виде последнего уравнения (10) имеет большое практическое значение и дает значительное преимущество при исследовании САР, т.к. оно позволяет графически изобразить звено следующим образом

Рис. 3. Графическое изображение звена

10