Математическая модель температурного поля диска газотурбинного двигателя
И.А. Данилушкин, А.А. Московцев Самарский государственный технический университет
Аннотация
Рассматриваются вопросы математического моделирования температурного поля диска при нагреве в процессе термопластического упрочнения поверхности диска газотурбинного двигателя. Основными методами исследования являются методы математического анализа, теории теплопроводности и компьютерное моделирование. Найдена функция Грина, позволяющая получить передаточную функцию объекта в терминах структурной теории распределённых систем.
Ключевые слова: диск газотурбинного двигателя, термопластическое упрочнение, математическая модель температурного поля диска, объект с распределенными параметрами.
Повышение прочности и эффективности функционирования наиболее нагруженных элементов конструкции, к которым относятся диски турбин и компрессоров, является основным вопросом, связанным с продлением срока эксплуатации газотурбинных двигателей. Одним из способов повышения надежности и долговечности дисков газотурбинных двигателей является процедура термопластического упрочнения [1], в процессе которой участок диска нагревается с заданной скоростью до определённой температуры. Нагрев может осуществляться различными способами: с помощью печи сопротивления или индукционной установки.
Требования к точности нагрева диска газотурбинного двигателя не позволяют получить удовлетворительное качество модели объекта управления в классе систем с сосредоточенными параметрами. Необходимо рассматривать задачу синтеза системы автоматического управления температурным полем диска как объектом с распределёнными параметрами, что, в свою очередь, должно быть отражено в математической модели объекта управления.
Математическая модель описывает температурное распределение по объему диска газотурбинного двигателя. При разработке модели был принят ряд допущений, которые позволили получить удовлетворительную точность описания температурного поля диска с помощью аналитических методов:
1) поведение температурного поля может быть описано линейным дифференциальным уравнением;
2) торцевые поверхности диска имеют гладкую форму.
Температурное поле диска рассматривается в цилиндрической системе координат. Из-за малой толщины диска температурное распределение по толщине можно не учитывать. В таком случае получим двумерное уравнение теплопроводности с соответствующими краевыми и начальными условиями, описывающее температурное поле диска:
,
, , ;(1)
, , ;(2)
, , ;(3)
, , ,(4)
где - температурное поле диска, - температуропроводность, , c - теплопроводность и удельная теплоёмкость, - плотность материала, R - внешний радиус диска, - функция, описывающая распределение удельной мощности теплоисточников по диску.
С помощью граничных условий можно задать потери только с боковой поверхности цилиндра, которые из-за малой толщины диска принимаются равными нулю. Потери с торцевой поверхности цилиндра могут быть учтены с помощью функции распределения теплоисточников . Методы структурной теории распределенных систем позволяют получить решение для неоднородного дифференциального уравнения с помощью операции пространственного интегрирования произведения функции распределенных теплоисточников и функции Грина уравнения (1) по области определения [2], [3].
Для нахождения функции Грина объекта необходимо решить дифференциальное уравнение в частных производных (1) с граничными условиями (2)-(3) и начальными условиями (4) для функции распределения теплоисточников , заданной уравнением вида [3]:
,(5)
т.е. при воздействии импульсного источника в точке в начальный момент времени.
Найдём функцию Грина объекта с помощью интегральных преобразований. Чтобы избавиться от операции дифференцирования по переменной , используем косинус-преобразование Фурье [4]
, .(6)
Переход от изображения функции к ее оригиналу осуществляется по формуле
.(7)
Применяя преобразование (6) к дифференциальному уравнению теплопроводности (1), с учётом граничных условий (2)-(3) получим
,(8)
.(9)
К полученному уравнению (8) применим преобразование Ханкеля [4]
,(10)
где - корень характеристического уравнения
.(12)
Тогда исходное уравнение принимает вид
.(13)
Решение обыкновенного дифференциального уравнения (13) запишется как
.(14)
Для перехода к оригиналу последовательно применяются обратное косинус-преобразование Фурье [4]
(15)
и обратное преобразование Ханкеля [4]
,
,(16)
где - положительные корни трансцендентного уравнения,
.(17)
Выражение (16) и есть функция Грина системы.
Найденная функция Грина объекта позволит в дальнейшем получить передаточную функцию объекта в терминах структурной теории распределённых систем и использовать её при синтезе и анализе автоматической системы управления температурным полем диска.
температурный диск грин фурье
Библиографический список
1. Головачев А.Л., Данилушкин А.И., Мишанин Е.А. Система индукционного нагрева для термообработки елочного паза дисков турбоагрегатов // Вестник СГТУ. - 2006. - №1(10). - Вып. 1. - С.108-113.
2. Рапопорт Э.Я. Структурное моделирование объектов и систем управления с распределенными параметрами. - М.: Высшая школа, 2003.- 299с.
3. Бутковский А.Г. Характеристики систем с распределенными параметрами. - М.: Наука, 1979. - 224 с.
4. Диткин В.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. - Москва, 1961. - 524 с.