Материал: Литература по теме Тема Алгоритмы и программы Вопрос Понятие алгоритма

Тема 2. Математические основы информатики

 

Цель и задачи: рассмотреть понятие о системах счисления, элементах алгебры логики, а также способах представления информации в ЭВМ, получить навыки определения количественных характеристик информации.

 

Вопросы темы:

1.  Системы счисления.

2.  Количественные характеристики информации.

3.  Представление информации в ЭВМ.

4.  Элементы алгебры логики.

 

Вопрос 1. Системы счисления.

 

Система счисления – это способ представления чисел с помощью символов (цифр), имеющих определенные количественные значения.

В зависимости от способа изображения чисел выделяется два типа систем счисления:

1.  Позиционные системы счисления, в которых количественное значение каждой цифры зависит от ее места (позиции) в числе, например, арабская система счисления.

2.  Непозиционные системы счисления, в которых цифры не меняют своего количественного значения при смене позиции в числе, например, римская система счисления.

 

В Римской системе счисления значение цифры не зависит от ее положения в записи числа. Например, число ХХХ. Здесь цифра Х в любом месте означает число десять (а вся запись – число 10 + 10 + 10 = 30).

Непозиционные системы счисления неудобны для вычислений, поэтому в вычислительной технике используются только позиционные системы счисления.

Основание позиционной системы счисления (P) – это количество различных цифр, используемых для изображения чисел в системе счисления. При этом сами значения цифр лежат в пределах от 0 до P – 1. В повседневной жизни мы имеем дело с десятичной системой счисления, где Р = 10 и используются арабские цифры от 0 до 9.

А в то же время в электронных вычислительных машинах (или компьютерах) для записи данных и информации используется двоичная система счисления. Понятно, что в этом случае Р = 2 и используются только 2 символа: 0 и 1. Оба этих символа носят название двоичных единиц.

В позиционной системе счисления любое число представляется суммой произведений коэффициентов на основание системы счисления Р в степени, соответствующей местоположению цифры в числе. Здесь коэффициенты и есть те цифры, из которых состоит число.

Для простоты понимания вопроса ограничимся пока представлением лишь целых чисел. При этом первой справа цифре числа соответствует позиция «0», второй – «1» и т.д.

В общем случае любое число A, состоящее из m знаков в целой части, в позиционной системе счисления с основанием P будет записано в следующем виде:

 

A = am–1P m–1 + … + a1P1 + a0P 0,

 

где нижние индексы 0…m – 1 определяют позицию (местоположение) цифры в записи числа.

 

Например, десятичное число 469 можно представить в виде суммы:

 

469 = 4 · 102 + 6 · 101 + 9 · 100.

 

Слева от знака равенства число записано в сокращенной записи, а справа – в виде суммы степеней десятки с соответствующими коэффициентами (полная запись числа).

Как видим, последовательность цифр в краткой записи числа (слева от знака «=») состоит из коэффициентов при степенях основания системы счисления: 4, 6. 9.

Чтобы представить то же число в двоичной системе счисления, сначала запишем его в виде суммы чисел, каждое из которых равно некоторой степени двойки:

 

469 = 256 + 128 + 64 + 16 + 4 +1.

 

Как известно,

 

256 = 28, 128 = 27, 64 = 26, 32 = 25, 16 = 24, 8 = 23, 4 = 22, 1 = 20.

 

Значит,

 

469 = 1 · 28 + 1 · 27 + 1 · 26 + 0 · 25 + 1 · 24 + 0 · 23 + 1 · 22 + 1 · 20.

 

Если теперь выпишем последовательность коэффициентов перед степенями двойки, получим двоичный код десятичного числа 469:

 

1 1 1 0 1 0 1 1.

 

Приведём примеры записи десятичных чисел в двоичной системе.

 

Десятичная запись числа	Двоичный код
0	0
1	1
2	10
3	11
4	100
5	101
10	1010
20	10100
100	1100100

Рекламаtinkoff.ru



Желания исполняютсяПогаси кредит в другом банке и не плати проценты до 120 дней. Доставим кредитку уже завтра

АО «Тинькофф Банк», лицензия 2673 Подробнее на сайте.

Подать заявку

 

Рассматривая двоичный код десятичных чисел, можно заметить, что у чётных чисел двоичный код оканчивается на 0, а у нечётных – на 1.

Кроме рассмотренных систем счисления в информатике иногда используются и другие:

·     восьмеричная(используются цифры 0, 1, ..., 7);

·     шестнадцатеричная(для первых целых чисел от нуля до девяти используются цифры 0, 1, ..., 9, а для следующих чисел – от десяти до пятнадцати – в качестве цифр используются символы A, B, C, D, E, F).

 

Приведём примеры записи чисел в этих системах.

Восьмеричное число:

 

357(8) = 3 · 82 + 5 · 81 + 7 · 80 = 192 + 40 + 7 = 239 (10).

 

Шестнадцатеричное число:

 

3BE(16) = 3 · 162 + 11 · 161 + 14 · 160 = 768 + 176 + 14 = 958(10).

 

Таким образом, чтобы перевести число из одной системы счисления в другую, его следует представить в виде суммы произведений некоторых коэффициентов (выраженных в символах новой системы) на степени основания этой системы, а затем выписать значения этих коэффициентов в виде последовательности. Это и будет код числа в новой системе.

 

Вопрос 2. Количественные характеристики информации.

 

Информация обладает количественными характеристиками. Их изучает специальная наука – теория информации. Важнейшим результатом теории информации является вывод о том, что в определенных, весьма широких условиях, можно, пренебрегая качественными особенностями информации, выразить ее количество числом, а следовательно, сравнивать количество информации, содержащейся в различных группах данных.

Количеством информации называют числовую характеристику информации, отражающую ту степень неопределенности, которая исчезает после получения информации.

Рассмотрим пример. Пусть, собираясь осенним утром из дома на работу, у нас возник вопрос, какую одежду одевать и брать ли с собой зонт. То есть налицо неопределенность ситуации. Затем, прослушав по радио прогноз погоды и выяснив температуру за окном, то есть получив информацию, мы принимаем окончательное решение, поскольку снизилось количество вариантов выбора.

Приведенный пример показывает, что понятия «информация», «неопределенность», «возможность выбора» тесно связаны. Получаемая информация уменьшает число возможных вариантов выбора (т.е. неопределенность), а полная информация не оставляет вариантов вообще.

Условно все подходы к определению количества информации можно разделить на пять видов:

1)      энтропийный;

2)      алгоритмический;

3)      комбинаторный;

4)      семантический;

5)      прагматический.

 

Первые три вида дают количественное определение сложности описываемого объекта или явления. Четвертый – описывает содержательность и новизну передаваемого сообщения для получателя (пользователя) сообщения. Наконец, пятый вид обращает внимание на полезность полученного сообщения для пользователя.

 

Измерение информации: содержательный подход.

Для человекаинформация тесно связана с его знаниями. Рассмотрим вопрос с этой точки зрения.

Получение новой информации приводит к расширению знаний. Если некоторое сообщение приводит к уменьшению неопределенности нашего знания, то можно говорить, что такое сообщение содержит информацию.

Отсюда следует вывод, что сообщение информативно (т.е. содержит ненулевую информацию), если оно пополняет знания человека. Например, прогноз погоды на завтра – информативное сообщение, а сообщение о вчерашней погоде неинформативно, т.к. нам это уже известно.

Нетрудно понять, что информативность одного и того же сообщения может быть разной для разных людей. Например: «2 x 2=4» информативно для первоклассника, изучающего таблицу умножения, и неинформативно для старшеклассника.

Но для того чтобы сообщение было информативно, оно должно быть еще понятно, т.е. быть логически связанным с предыдущими знаниями человека. Определение «значение определенного интеграла равно разности значений первообразной подынтегральной функции на верхнем и на нижнем пределах», скорее всего, не пополнит знания и старшеклассника, т.к. как оно ему непонятно. Чтобы понять данное определение, нужно закончить изучение элементарной математики и знать начала высшей.

Получение всяких знаний должно идти от простого к сложному. И тогда каждое новое сообщение будет в то же время понятным, а значит, будет нести информацию для человека. Сообщение несет информацию для человека, если содержащиеся в нем сведения являются для него новыми и понятными.

Очевидно, что различать лишь две ситуации: «нет информации» – «есть информация» для измерения информации недостаточно. Нужна единица измерения, тогда мы сможем определять

, в каком сообщении информации больше, а в каком – меньше.

Единица измерения информации была определена в науке, которая называется теорией информации. Эта единица носит название «бит». Ее определение звучит так: «сообщение, уменьшающее неопределенность знаний в два раза, несет 1 бит информации».

Неопределенность знаний о некотором событии – это количество возможных результатов события. Рассмотрим классический пример подбрасывания монеты. До эксперимента мы имеем неопределённость: либо выпадет «орел», либо «решка». То есть неопределённость – два возможных исхода. После подбрасывания монеты, неопределённость уменьшается вдвое и вообще исчезает – монета упала конкретной стороной. То есть, сообщение о том, что выпал, например, «орел» несёт информацию, количество которой равно 1 биту.

Другой пример. После выполнения контрольной работы у студента имеется неопределенность, он не знает, какую оценку получил: «2», «3», «4» или «5». То есть количество возможных исходов равно 4. После объявления преподавателем результатов, он получает одно из четырех информационных сообщений: «2», «3», «4» или «5». Информационное сообщение об оценке за контрольную работу приводит к уменьшению неопределенности знания в четыре раза, т.к. получено одно из четырех возможных сообщений. То есть количество информации в сообщении равно 2 битам.

Если обозначить возможное количество событий, или, другими словами, неопределенность знаний N, а буквой I количество информации в сообщении о том, что произошло одно из N событий, то можно записать формулу:

 

2I = N.

 

Итак, количество информации, содержащееся в сообщении о том, что произошло одно из N равновероятных событий, определяется из решения показательного уравнения:

 

2I = N.

 

Таким образом, при двух равновероятных исходах эксперимента N = 2, I = 1 (бит), а при N = 4, I = 2 (бита).

 

Измерение информации: алфавитный подход.

Алфавитный подход– это способ измерения информации, который не связывает количество информации с содержанием сообщения.

При алфавитном подходе к определению количества информации отвлекаются от содержания информации и рассматривают информационное сообщение как последовательность знаков определенной знаковой системы.

Применение алфавитного подхода удобно прежде всего при использовании технических средств работы с информацией. В этом случае теряют смысл такие понятия, как «новые – старые», «понятные – непонятные» сведения. Алфавитный подход является объективным способом измерения информации в отличие от субъективного содержательного подхода.