Материал: Лекция_2

Лекция 2. Ко- и контравариантные компоненты векторов

1. Контравариантные компоненты вектора. Примем следующие обозначения и правила, которые в дальнейшем намного упростят выкладки.

Будем нумеровать координаты вектора верхним индексом, базисные векторы

– нижним. Тогда произвольный вектор a , определенный в n -мерном пространстве, можно представить в виде разложения

1

Удобство такой записи заключается в том, что можно без потери понимания смысла записи опустить знак суммирования. Если есть некоторый индекс вверху и такой же внизу, то по нему подразумевается суммирование (правило суммирования Эйнштейна). Произведем замену базиса, перейдя к штрихованной системе координат:

Здесь мы ввели новое обозначение для компонент матрицы перехода A .

Нижний индекс соответствует номеру строки, а верхний – номеру столбца.

Задание 2. Продумайте и осознайте эту запись. Это необходимо для дальнейшего восприятия материала. Распишите (37) по координатам.

Каждый индекс пробегает значения (в трехмерном пространстве) от 1 до 3.

Получите три уравнения с тремя слагаемыми каждое. Сравните получившиеся выражения с (26) и (30).

Обратное к (37) преобразование, т.е. переход от нового базиса к старому,

имеет вид:

Задание 3. Вспомните, как перемножаются матрицы. Убедитесь в

справедливости (39).

При замене базиса вектор не изменяется. Меняются только его координаты. Следовательно,

из которого следует закон преобразования координат вектора при замене базиса:

Такие координаты называются контравариантными компонентами вектора.

Закон их преобразования противоположен (контра!) закону преобразования базисных векторов. Действительно, базисные векторы преобразуются посредством матрицы A (формула (37)), а компоненты вектора –

посредством матрицы ˆ ˆ 1 .

B A

2. Ковариантные компоненты вектора (I). Ковариантные компоненты a вектора a определяются скалярным произведением вектора a на базисные векторы e :

a ae .

Задание 4. Проверьте, что в декартовой системе координат ко- и

контравариантные компоненты совпадают.

3. Скалярное произведение и метрический тензор. Дадим теперь

формальное определение скалярному произведению векторов с помощью метрического тензора (матрицы) G g следующим образом:

Компоненты g e e метрического тензора зависят от выбора системы

координат. Так, например, в декартовой системе координат метрический тензор имеет вид:

В самом деле, с учетом этого формула (42) переходит в формулу (7):

Так как в декартовой системе координат нет разницы между ко- и

контравариантными компонентами, то индекс можно опускать и поднимать,

не задумываясь. Это и было использовано в (7.1). В других системах координат, например в сферической или цилиндрической, вид метрического тензора изменяется. Если его можно привести к виду (43) некоторым преобразованием координат, то такая метрика называется евклидовой.

Следует также отметить, что по определению метрический тензор является симметричным: g g .

4. Обратный метрический тензор и взаимный базис. Определим

С помощью введенного тензора определим векторы так называемого

взаимного базиса

Скалярное произведение векторов исходного базиса на векторы взаимного базиса приводит к символу Кронекера:

Найдем закон преобразования векторов взаимного базиса при замене системы координат. Для этого найдем произведение вектора взаимного

базиса в старых координатах на вектор исходного базиса в новой системе координат:

Здесь мы использовали соотношения (37) и (46). Умножим равенство (47)

Полученный закон преобразования векторов взаимного базиса совпадает с законом преобразования контравариантных компонент вектора (41).

5. Ковариантные компоненты вектора (II). Ковариантными

Задание 5. Выразите компоненты этого вектора. Ответ: a ae .

Независимо от базиса вектор остается самим собой. Поэтому справедливо равенство

Задание 6. Проверьте справедливость этого соотношения.

Поэтому равенство (50) принимает вид

a e a g e ,

из которого следует, что ковариантные компоненты вектора выражаются через контравариантные компоненты вектора посредством метрического тензора:

Совершенно очевидно, что контравариантные компоненты выражаются через ковариантные компоненты с помощью обратного метрического тензора:

Операции типа (52) и (53) называются операциями жонглирования индексами. Это важные области применения метрического тензора. С

помощью метрического тензора индексы опускают вниз, а с помощью обратного метрического тензора – поднимают наверх.

Задание 7. Используя (50) и (51), еще раз убедитесь, что в декартовой

системе координат ко- и контравариантные компоненты совпадают.

Найдем закон преобразования ковариантных компонент вектора при замене координат. Для этого фактически нужно повторить вывод (40)-(41) с

той лишь разницей, что теперь следует вектор раскладывать по взаимному базису. Итак, при замене базиса вектор не изменяется. Меняются только его координаты. Следовательно,

Учитывая закон (48), получим соотношение

a e a B e ,

из которого следует закон преобразования ковариантных компонент вектора при замене координат

Видно, что закон преобразования совпадает (ко-) с законом преобразования базисных векторов (38).

Следует особо отметить, что в случае отсутствия метрики, выражения типа a e и a e соответствуют объектам разной природы. Как мы увидим в