Материал: Лекция 9 по СМ для ФЭМТО 2021

Дисциплина«Сопротивлениематериалов»

Лекция 9:Сложное сопротивление.

ЛекторСеразутдиновМуратНуриевич.

СЛОЖНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ

1. Основныепонятия

В предыдущих лекциях были рассмотрены виды нагруже-ния,прикоторыхвсеченияхстержнявозникалиследующиевнутренние силовые факторы: нормальная силаN– при растя-^{женииисжатии,крутящиймоментT–прикручении,попереч-}

наясила^Q_y

иизгибающиймоментM_x

– при изгибе.

Растяжение–сжатие,кручение,плоскийизгиб,называются

простымивидаминагружения.

Сложным сопротивлениемназываются такие виды нагру-жения стержня, при которых в его поперечных сечениях одно-временновозникаетнескольковнутренних силовых факторов.

Если в стержне возникают только упругие деформации, топрианализесложного сопротивленияможно использовать

принципнезависимостидействия сил. Следователь-но, сложное сопротивление можно рассматривать каксложение элементарных видов деформаций и исполь-зоватьпредположенияирезультатыпредыдущихглав.

Часто в расчетной практике возникают следующие видысложного сопротивления:косой изгиб; внецентренное растяже-ние-сжатие;изгибскручением.

2. Косойизгиб

Косым изгибомназывается вид нагружения стержня, прикотором плоскость действия изгибающего моментаMне про-ходитчерез главнуюось поперечногосечения.

Нарис.1апоказанизгибающиймоментM,действующий

вплоскости,проходящейподугломкосиОу.Разложимэтот

моментM насоставляющие

M_x,

M_y,действующиевплоско-

стях,проходящихчерезглавныеосипоперечногосеченияОуи

Ох(рис.1б):

M_xMcos,M_yMsin.

При действии этих моментов, в плоскостях, проходящихчерезглавныеосипоперечногосечениябалкиОуиОх,возникаетплоский изгиб.

а

Рис. 1. Моменты в сечениибалки при косом изгибе

Ранеебылаустановлено,чтоприплоскомизгибе,впопе-

речныхсеченияхстержнявозникаетизгибающиймоментM_xинормальныенапряжения

^Mxy.

I_x

Сучетомэтойформулыполучается,чтопридействиимо-

ментов

M_x,M_y

впоперечныхсеченияхстержнявозникают

напряжения

^x^Mxy

I_x

и^y^Myx.

I_y

В соответствии с принципом независимости действия сил,косой изгиб можно рассматривать как результат сложения двухплоских изгибов, происходящих во взаимно перпендикулярныхплоскостях.Следовательно,нормальныенапряжениявлюбой

точке поперечного сечения равны сумменапряжений,возникающихпридействиимоментов

M_x^,

M_y.

Учитывая,что

^x^у,а^x^Mxy,^y^Myx,

I_x I_y

получим

^Mxy^Myx. (1)

I_x I_y

ВведемновыепеременныеMи.Используяуравнения

M_xMcos,M_yMsin,

^{выражающиеизгибающиемоментыM}_x

иM_y

черезэтипере-

менные,формулу(1)можнозаписатьввиде:





I

sin





Можнопоказать,что

_{Ix y} 

M ,

tg^Му, (2)

М

х

Нейтральной линией(н.л.) называется геометрическое ме-стоточек,вкоторыхнормальныенапряженияравнынулю.Нейтральная линия делит сечение на растянутую и сжатую обла-сти.

Уравнениенейтральнойлинииформулы(1),имеет вид

0,сучетом

^Mxy^Myx0. (3)

I_x I_y

УголнаклонаαэтойлиниикосиОх(рис.2)определяетсяизуравнения

^ytg.

x



Рис. 2. Эпюра напряжения в сечении прикосомизгибе

Учитывая,чтовсоответствиис(2),tg^Му,изравенства

М_х

3. получаем

tg^Ixtg.

I_y

Следовательно,если

I_xI_y,то

.Вобщем

случае нейтральная линия не перпендикулярна ли-ниивпоперечномсечениистержня,черезкоторую

^{проходит плоскость действия изгибающего момента}M^{.Максимального}значениянормальныенапряжениядости-

гают в наиболее удаленных от нейтральной линии точках сече-ния. Эти точки называются опасными. На рис. 2 показаны опас-ныеточкиАиВи эпюраизменениямеждуними.

Условиепрочности,записанное,например,дляточки

^А(xA^,yA^{),имеетвид:}

^max^

y^Myx

A

A

.

Длясечений,свыступающимиуглами(прямоугольник,двутавр и др.), условие прочности может быть записано следу-ющимобразом:

W

x ^Wy

.

Дляхрупкихматериалов,укоторыхдопускаемыенапря-

женияприсжатии

[_c]иприрастяжении

[_p]

различны

([_c][_p]), условие прочности записывается для наиболее уда-^{ленной от нейтральной линии точки сечения (x}A^,yA^{) в растяну-той}зоне

A

• ^MyxI_y

[_p],

A

B

B

I_y

[_c].

Прогибприкосомизгибеопределяетсякакгеометриче-скаясуммапрогибовu,v,возникающихвнаправленияхосей

ОхиОу(рис.3). Следовательно, .

у

н.л.

х

Рис.3.Перемещения,u,v

Можно показать,чтонаправлениепрогиба  определяетсяуглом

21. _Ix 

arctg

arctg^ tg^.

21. 

    

    _Iy 

3. Внецентренноерастяжение–сжатие

Внецентренным растяжением–сжатием

называетсятакойвиднагружениястержня,прико-

торомвнешниесилыдействуютпараллельнопродольнойосистержня.

^{ПустьсилаFприложенавточке}

C(x_c,y_c)

инаправлена

параллельнопродольнойоси стержня (рис.4).

Рис.4. Внецентренное растяжение стержня

ЕслипривестиэтусилукцентрутяжестисеченияО,тополучится,чтовсечениидействуютпродольная

силавеличиной

NF

иизгибающиемоменты–

M_xFy_c^, M_yFx_c^{. Формулы, выражающие нормальные}

напряжениявпоперечныхсеченияхстержнячерезэтивнутрен-ниесилы, имеют вид:

^N^N,

A

^x^Mxy,

I_x

^y^Myx.

I_y

Используяэтиформулыипринципнезависимостидей-ствия сил, получим, чтонапряжения привнецентренном дей-ствии продольной силы равны сумме напряжений, возникающихоткаждого внутреннегоусилия:

^NMxy^Myx.

A I_x I_y

Уравнение нейтральнойлинии(0)

^NMxy^Myx0.

имеетвид

A I_x I_y

Опасными точками сечения являются точки, наиболее уда-ленные от нейтральной линии, т.к. в этих точках возникают мак-симальныевеличинысжимающихирастягивающихнапряже-ний.

Дляпластичныхматериалов,укоторыхдо-

пускаемыенапряженияприсжатии

[_c]

иприрас-

тяжении

[_p]

одинаковы

[_c][_p],условиепроч-

ностизаписываетсяввиде

  ^Mxy^Myx

[].

max

I_x I_y

Дляхрупкихматериалов,

[_c][_p],поэтомуусловиепроч-

ностиследуетзаписыватьдляопаснойточкисеченияврастяну-тойзоне

A

I

A

p

A I_{x y}

идля опаснойточки сечения всжатойзоне

• B

  ^MxyI_x

• ^MyxI_y

[_c],

B

Для определения опасных точек сечения необходимо найтиположение нейтральной линии. Отметим, что не во всех случаяхнейтральнаялинияпроходитчерезсечениестержня.Можнопо-

казать,чтопрималыхзначениях

x_c,y_c

нейтральнаялинияпро-

ходитнабольшомрасстоянииотстержня,априудаленииточки

^{приложениясилыС(x}_c,y_c^{)отцентратяжестипоперечногосе-чения}О,онабудетприближатьсяксечению.Принекоторых

значениях

x_c,y_c

нейтральнаялинияпройдетчерезсечениеираз-

делит его на две части, в одной из них напряжения будут сжи-мающими,вдругой– растягивающими.

Таким образом, получается, что в окрестности центра тя-жести сечения имеется область, называемаяядром сечения, ха-рактерная тем, что продольная сила, приложенная в ней, будетвызывать вовсемсечениинапряжений одногознака.

На рис. 5 показано ядро сечения (заштрихованная область)для круглого и прямоугольного сечения стержня. Если продоль-ную силу, приложить в заштрихованной области (в ядре сече-ния), то во всем поперечном сечении стержня возникнут напря-жения одного знака. Если же силу, приложить вне ядра сечения,нейтральнаялиниябудет проходитьчерез сечениеи разделитегонадвечасти– растянутую исжатую.

Рис. 5 Ядро сечениядля круга ипрямоугольника

2