Материал: Лекция 3

Во втором слагаемом u_L уравнения (амплитуда . Откуда ам­плиту­да тока , где X_L = L = 2fL  реактивное индуктивное сопротивление (в омах) индуктивной катуш­ки, прямо пропорциональное частоте .

Разность фаз между напряжением u_L и током i = i_L (рис. 3.4б, в)

 = _u  _I =  + /2 +  = /2 (90),

т .е. ток i_L в индуктивном элементе отстаёт от напряжения u_L по фа­зе на угол /2 (или напряжение u_L опережает по фазе ток i_L на угол /2).

В полученном уравнении U_m = U_mR + U_mL две неизвестные величины: амплитуда тока I_m и угол сдвига фаз  между напря­же­нием u(t) и током i(t), значения которых можно определить, построив век­тор­­ную диаграмму тока и напряжений цепи (рис. 3.6а).

Получили треугольник напряжений. Применив теорему Пифагора

,

получим амплитуда тока ,

где  полное сопротивле­ние RL-цепи.

Второй искомый пара­метр тока  началь­ную фазу  _i =  опреде­лим из тре­угольни­ка сопротив­ле­­ний (рис. 3.6б), который получен из треуголь­ника напря­жений посредством деления всех его сторон (векторов) на вектор тока I_m:



т.е. ток i(t) в RL-цепи отстаёт по фазе от прило­жен­ного к цепи нап­ряжения u(t) на угол .

Поделив на левую и правую части выражения I_m = U_m/Z, получим соотношение для действующих значений тока и напряже­ния на входе RL-цепи (рис. 3.6в)

Применив рассмотренную методику анализа цепи методом векторных диаграмм:

а) согласно второму закону Кирхгофа записывают интегрально-диф­фе­рен­циальное урав­не­ние цепи;

б) решение уравнения ищут в виде ;

в) подставив выражение тока i(t) в уравнение, уточняют фазы напря­жений на элемен­тах R, L, С и на других элементах;

г) строят векторную диаграмму напряжений, начиная с вектора тока I_m (при t = 0), и треугольник сопротивлений цепи; далее, вычисляют полное сопротивление Z, ам­плитуду тока I_m, его начальную фазу _i и сдвиг фаз  между нап­ря­жением u(t) и то­ком i(t) на входе цепи,

к последовательной RC-цепи (рис. 3.7), получим:

а ) дифференциальное уравнение состояния цепи , а после подстановки выражения тока и преобразования

или

,

в котором амплитуда напряжения на конденсаторе ,

где  реактивное ёмкостное сопротивление,

в) сдвиг фаз между напряжением u_C(t) и током i_С(t) в ёмкостном эле­менте (рис. 3.8а)

    =

т .е. ток i(t) = i_С(t) в ёмкостном элементе опережает напряжение u_С(t) по фа­­зе на угол /2 (рис. 3.8б и в).

г) построив ВД тока и напряжений, получили вектор напряжение на входе цепи (рис. 3.9а)

И з век­торной диаг­рам­мы следует, что ток i(t) в RC-цепи опережа­ет прило­жен­ное к цепи напряжение u(t) по фазе на угол .

Векторная диаграмма для действующих значений напряжений и тока представлена на рис. 3.9б.

Из треугольников напряжений (рис. 3.9а и б) имеем

,

откуда амплитуда и действующее значение искомого тока

I = , где  полное сопротивление RC-цепи.

Из треугольника сопротивлений (рис. 3.9в) RC-цепи определим угол сдвига фаз

 ,

откуда следует, что значение ёмкостного сопротивления X_C в формулах расчёта токов в ветвях цепей нужно подставлять со зна­ком минус.

3.3. Анализ и расчет последовательной rlc-цепь

П ри последовательном соединении элементов R, L и C (рис. 3.10) приложенное к зажимам цепи напряжение равно сумме нап­ряже­ний на эле­мен­тах цепи:

u = u_R + u_L + u_С =

После подстановки тока ) имеем

Вид век­­торной диаграммы напряжений и тока и характер электри­че­ских про­цес­сов, протекающих в цепи, зависят от соотношения сопротив­лений X_L и X_C:

 при (X_L > X_C) и U_mL > U_mC цепь носит активно-индук­ти­в­ный ха­рак­тер; ток i отстает по фазе от напряжения u на угол  (рис. 3.11а);

 при (X_L < X_C) и U_mL < U_mC цепь носит активно-ёмко­ст­ный ха­рактер; ток i опережает по фазе напряжение u на угол  (рис. 3.11б);

 при (X_L = X_C) и U_mL = U_mC цепь для источника энергии  чисто активная нагрузка; вследствие возникшего в цепи резонанса напряжений угол между входным током и напряжением  = 0 (рис. 3.11в).

И з треугольников напряжения (см. рис. 3.11а, б) следует, что

,

откуда амплитуда тока

Из тре­угольников сопротивлений (рис. 3.12а, б) следует, что полное со­про­ти­вление последовательной RLC-цепи равно

,

где  полное реактивное сопротивление RLC-цепи.

Сдвиг фаз между напряжением u(t) и током i(t) в RLC-цепи (рис. 3.12)



 алгебраическая величина, зависящая от соотношения сопротивлений X_L, X_C и R.

3.4. Мощности цепи синусоидального тока

При синусоидальном напряжении приложенном к зажи­мам RLC-це­­­­пи (рис. 3.13а), и ус­та­новившемся в ней токе (при , рис. 3.13б) выражение мгно­вен­ной мощности имеет вид

p(t) = dW/dt = u(t)i(t) = (u_R + u_L + u_С )i =

После подстановки тока i и напряжения

u = получим =