Курсовая работа (т): Кореляційний аналіз

2.2 Знаходження коефіцієнтів для рівнянь лінійного виду та аналіз рівняння регресії

Для лінійної регресії (y = a + bx) визначаємо коефіцієнти нормальних рівнянь. Для цього за допомогою програми mnk треба знайти значення, . Вони знайдені раніше (дивись табл. 2.1).

Система нормальних рівнянь має вид

Знаходимо значення коефіцієнтів:= 22,2975; b =-8,9057

Лінійна регресія має вид:

= 22,2975+(-8,9057)X

По цьому рівнянню обчислюємо значення  в кожній точці (табл. 2.3).

Таблиця 2.3

Перевіримо адекватність отриманої лінійної моделі та оцінимо її коефіцієнти.

Дисперсія адекватності моделі (по формулі 1.17):

 = 56,3036/(8-2) = 9,3839

Для оцінки значимості коефіцієнтів рівняння регресії визначимо дисперсії  і  по рівнянню (1.18):

 =  = 4,8153 =  = 19,7126

Використовуючи формули (1.19) і обравши з табл. 1,1 значення критерію Стьюдента при n - k = 6, що дорівнює t = 2,45 знаходимо довірчі границі Dа і Db.

Dа = ±2,45 × 4,4399 = ±10,8777

Db = ±2,45 ×2,1944= ±5,3763

Так як по абсолютному розміру |а|≥|Dа|, а |b|<|Db|, то коефіцієнти а - значущий, а коефіцієнт b - незначущий.

Середнє відхилення виміру у

Dy = ± 0,02 × уср = ± 0,02 × = ± 0,0964

При мінімальній кількості паралельних вимірів у кожній точці m=2 максимальне значення дисперсії відтворності складе:

  = 0,0185

Критерій Фішера по формулі (1.20)експ= = 507,2378

Табличне значення критерію Фішера (Fтабл) знаходимо по числу ступенів свободи чисельника (S) і знаменника (S)

f1= n - k = 8 - 2 = 6,

де n = 8 - кількість експериментальних точок; k = 2 - кількість знайдених коефіцієнтів моделі; m = 2 - кількість паралельних вимірів у кожній точці (приймаємо мінімальне значення m = 2).

По табл. 1.2 F6,1 = 234. Оскільки Fексп>Fтабл, то лінійна модель неадекватна результатам експерименту. Це очевидно і по розмірах обчислених значень , що значно відрізняються від експериментальних.

2.3 Знаходження коефіцієнтів для рівнянь нелінійного виду та аналіз рівняння регресії

Розглянемо тепер рівняння нелінійної регресії y= а + bx3

Задану нелінійну залежність y=а + bx3 необхідно попередньо привести до лінійного виду. Зробимо заміну X = x3 отримаємо лінійну залежність:

y= a + bX

За допомогою програми mnk знайдемо значення Xi, yi, X, y, Xi · yi (табл.2.4)

Таблиця 2.4 Результати обчислень для залежності y = a + bX

Знаходимо значення коефіцієнтів нормальних рівнянь:

8a + 13,8b = 50,4;

,8a + 29,8b = 103,45;= 2,7377;= 1,577

Модель має вид :

= 1,577+2,738· X

По цьому рівнянню обчислюємо значення  в кожній точці (табл. 2.4).

Розраховуємо дисперсію адекватності моделі: = = 0,59295

Тепер для оцінки значимості коефіцієнтів рівняння регресії визначимо дисперсії  і : =  =0,0989; =  =0,3647;

Знаходимо довірчі границі Dа і Db:

a = 0,6039;= 1,4796

b = 0,3145= 0,77298

Так як по абсолютному розміру |а| >|Dа| и |b|>|Db|, то коефіцієнти рівняння а значущій і b значущі.

Отже, нелінійна залежність має вигляд :

 = 1,577+2,738(x)1/2

По цьому рівнянню обчислюємо значення  в кожній точці (табл. 2.5 ).

Таблиця 2.5

Розраховуємо дисперсію адекватності моделі:

S = = 0,03601

Dy = ± 0,02*50,4/8=0,126

S = 2*(0,126)^2=0.0318

Критерій Фішера у даному випадку:експ = = 1.1324

По табл. 2,2 F6,1 = 234. Оскільки Fексп<Fтабл, то дана модель адекватна результатам експерименту. Це очевидно і по розмірах обчислених значень , що значно відрізняються від експериментальних

2.5 Параболічна інтерполяція

Використовуючи метод параболічної інтерполяції визначимо необхідну ступінь поліному, його коефіцієнти і значення параметрів у зазначених невузлових точках по вихідним даним 2. Складемо по кожній заданій температурі для кожного параметру поліном починая з першого ступеню.

) При Т=475К знайдемо m, складемо поліном першого порядку. Для цього виберемо з таблиці експериментальних даних (див. вихідні дані 2) 2 точки між якими знаходиться задана Т. Та складемо систему нормальних рівнянь.       Поліном першого ступеню прийме вид:

108×m¢=y¢=a0+a1x

де x=T.

Дві точки між якими лежить заданий х:=450; x1=500;=2795; y1=3012.

Система нормальних рівнянь прийме вид:

Рішати усі системи нормальних рівнянь ми будемо за допомогою прикладної програми GZ1.EXE (дивись додаток 2), зокрема і цю систему, коефіцієнкти якої приймуть значення:=841,99; a1=4,34.

Складемо інтерполяційний поліном, підставивши х=Т=475 у поліном першого ступеню 108×m¢=y¢=841,99+4,34x=2903,49, звідси m=2903,49 Па×с.

Ступінь поліному підвищуємо на 1, та розраховуємо аналогічно попередньому прикладу.

Поліном другого ступеню прийме вид:

×m¢¢=y¢¢=a0+a1x+a2x2;

Оберемо три точки найближче розташовані коло заданого х=Т=475=450; x1=500; x2=550;=2795; y1=3012; y2=3217.

Складемо систему нормальних рівнянь:

За допомогою прикладної програми GZ1.EXE знаходимо коефіцієнти рівняння:=301,99; a1=6,62; a2= -0,0024.

Складемо інтерполяційний поліном, підставивши х=Т=475 у поліном другого ступеню 108×m¢¢=y¢¢=301,99+6,62x+(-0,0024)x2=2904,99, звідси m=2904,99Па×с

Тепер перевіримо похибку за формулою , коли h<5%, тоді даний поліном найменшого порядку нам підходить для описання експериментальних даних на деяком відрізкі.

Так як h<5%, то поліном першого порядку при a0=841,99; a1=4,34 підходить для описання експериментальних даних на деяком відрізкі, тобто при Т=475К, m=2903,49×10Па×с.

) Аналогічно розраховуємо для Т=475К, l=?

Починаємо з найменшої степені поліному:

×l¢=y¢=a0+a1x; x=T.

Обираємо дві точки між якими лежить заданий х:=450; x1=500;=370; y1=404.

Складемо систему нормальних рівнянь:

За допомогою прикладної програми GZ1.EXE знаходимо коефіцієнти рівняння:=366,63; a1=0,075.

Складемо інтерполяційний поліном, підставивши х=Т=475 у поліном першого ступеню 104×l¢=y¢=366,63+0,075x=402,255 , звідси l=402,255 Вт/(м×К)

Степень поліному підвищуємо на 1, та розраховуємо:

×l¢¢=y¢¢=a0+a1x+a2x2;

Обираємо три точки між якими лежить заданий х:=450; x1=500; x2=550;=370; y1=404; y2=439.

Складемо систему нормальних рівнянь:

За допомогою прикладної програми GZ1.EXE знаходимо коефіцієнти рівняння:=109; a1=0,49; a2=0.00019.

Складемо інтерполяційний поліном, підставивши х=Т=530 у поліном другого ступеню 104×l¢¢=y¢¢=109+0,49x+0.00019x2=384,61, звідси l=384,61Вт/(м×К)

Так як h<5%, то поліном першого порядку при a0=366,63; a1=0,075; підходить для описання експериментальних даних на деяком відрізкі, тобто при Т=475К, l=402,255 Вт/(м×К)

) Аналогічно розраховуємо для Т=475К, Ср=?

Починаємо з найменшої степені поліному:

Ср¢=y¢=a0+a1x; x=T.

Обираємо дві точки між якими лежить заданий х:=450; x1=500;=0,957; y1=0,973.

Складемо систему нормальних рівнянь:

За допомогою прикладної програми GZ1.EXE знаходимо коефіцієнти рівняння:=0,813; a1=0,00032.

Складемо інтерполяційний поліном, підставивши х=Т=475 у поліном першого ступеню Ср¢=y¢=0,813+0,00032x=0,965, де Ср=0,965 кДж/(кг×К)

Степень поліному підвищуємо на 1, та розраховуємо:

Ср¢¢=y¢¢=a0+a1x+a2x2;

Обираємо три точки між якими лежить заданий х:=450; x1=500; x2=550;=0,957; y1=0,973; y2=0,988.

Складемо систему нормальних рівнянь:

За допомогою прикладної програми GZ1.EXE знаходимо коефіцієнти рівняння:=0,768; a1=0,0005; a2= -0.00000019.

Складемо інтерполяційний поліном, підставивши х=Т=475 у поліном другого ступеню Cp¢¢=y¢¢=0,768+0,0005x+(-0.00000019)x2=0,963, де Ср=0,963 кДж/(кг×К)

Так як h<5%, то поліном першого порядку при a0=0,813; a1=0,00032 підходить для описання експериментальних даних на деяком відрізкі, тобто при Т=475К, Ср=0,965 кДж/(кг×К)

) Аналогічно розраховуємо для Т=315К, m=?

Починаємо з найменшої степені поліному:

×m¢=y¢=a0+a1x; x=T.

Обираємо дві точки між якими лежить заданий х:=300; x1=350;=2057; y1=2321.

Складемо систему нормальних рівнянь:

За допомогою прикладної програми GZ1.EXE знаходимо коефіцієнти рівняння:=472,9998; a1=5,28.

Складемо інтерполяційний поліном, підставивши х=Т=315 у поліном першого ступеню108×m¢=y¢=472,9998+5,28x=2136,19, звідси m=2136,19Па×с.

Степень поліному підвищуємо на 1, та розраховуємо:

×m¢¢=y¢¢=a0+a1x+a2x2;

Обираємо три точки між якими лежить заданий х:=300; x1=350; x2=400;=2057; y1=2321; y2=2566.

Складемо систему нормальних рівнянь

За допомогою прикладної програми GZ1.EXE знаходимо коефіцієнти рівняння:=74; a1=7,75; a2= -0.0038.

Складемо інтерполяційний поліном, підставивши х=Т=315 у поліном другого ступеню 108×m¢¢=y¢¢=74+7,75x-0.0038x2=2138,19, звідси m=2138,19 Па×с.