Материал: Контрольная по ВышМату 3й сем
Задача 1.
Решить
уравнение
и представить корни в алгебраическом,
тригонометрическом и показательном
видах.
Решение:
Из
данного уравнения следует, что
.
Представим комплексное число
в тригонометрическом виде:
и
,
откуда
.
Тогда получаем:
, 
.
Тогда соответствующие корни имеют вид:
.
Представим полученные корни в алгебраическом виде:
.
Представим полученные корни в тригонометрическом виде:
.
Представим полученные корни в показательном виде:
.
Задача 2.
Вычислить значения функций:
а) 
;
б) 
;
в) 
.
Решение:
а) .
Для
комплексного числа
найдем его модуль и аргумент:
,
.
Тогда получаем:
, 
.
б) .
Используем формулу гиперболического синуса суммы и связь между гиперболическими и тригонометрическими функциями:
.
в) .
Используем формулу тригонометрического косинуса разности и связь между гиперболическими и тригонометрическими функциями:
.
Задача 3.
Исследовать числовые ряды на сходимость:
а) 
;
б) 
;
в) 
;
г) 
.
Решение:
а) .
Используем
предельный признак сравнения и сравним
данный ряд с расходящимся рядом
:
.
Отсюда следует, что данный ряд расходится.
б) .
Используем
предельный признак сравнения и сравним
данный ряд с расходящимся рядом
:
.
Отсюда следует, что данный ряд расходится.
в) .
Используем признак Даламбера:
.
Отсюда следует, что данный ряд сходится.
г) .
Используем признак Даламбера:
.
Отсюда следует, что данный ряд сходится.
Задача 4.
Найти область сходимости степенного ряда:
а) 
;
б) 
.
Решение:
а) .
Найдем радиус сходимости данного ряда:
.
Тогда
интервал сходимости данного ряда есть
или
.
При
получаем ряд
.
Составим ряд из модулей членов полученного
ряда
.
Используем предельный признак сравнения
и сравним ряд, составленный из модулей
членов полученного ряда, с расходящимся
рядом
:
.
Отсюда
следует, что ряд, составленный из модулей
членов полученного ряда, расходится.
Поскольку при этом признак Лейбница
выполняется, то есть члены полученного
ряда убывают по абсолютной величине и
,
то полученный ряд сходится условно. При
получаем ряд
.
Как было показано выше, такой ряд
расходится. Следовательно, область
сходимости данного ряда есть
.
б) .
Найдем радиус сходимости данного ряда:
.
Отсюда
следует, что данный ряд сходится в точке
.