Кривизна поверхности в точке может быть нулевой, положительной и отрицательной. Поверхностями постоянной нулевой кривизны являются, например, плоскость, цилиндр и конус. Кривизна сферы постоянна, положительна, и равна 1/RІ. Поверхности с отрицательной кривизной в некоторой точке имеют в окрестности этой точки седлообразную форму, т.е. имеют в главных направлениях противоположный изгиб: k1 и k2 имеют противоположные знаки. Поверхностью со всюду отрицательной (но не постоянной) кривизной является, например, однополостный гиперболоид. А тор комбинирует в себе все виды кривизны: положительную, нулевую и отрицательную.
В 1840 году Фердинанд Миндинг показал, что поверхность вращения трактрисы вокруг ее асимптоты имеет постоянную отрицательную кривизну.
Рис. 1 Поверхность Миндинга («псевдосфера» Бельтрами)
Миндинг обнаружил, что тригонометрия на этой поверхности получается из обычной тригонометрии заменой тригонометрических функций на гиперболические. Эта замена использовалась и в «воображаемой геометрии» Лобачевского. Это означало, что «планиметрия» Лобачевского совпадает, хотя и локально, с геометрией поверхности Миндинга. Однако указанное совпадение осталось незамеченным.
Наконец в 1868 году Эудженио Бельтрами заметил, что на поверхности Миндинга, которую он назвал «псевдосферой», локально выполняется «планиметрия» Лобачевского. Так, благодаря работам Миндинга и Бельтрами было показано, что «планиметрия» Лобачевского локально совпадает с геометрией поверхностей постоянной отрицательной кривизны.
Но, чтобы быть геометрией, т.е. геометрией пространства и его подпространств, этого ещё недостаточно. «Псевдосфера» есть просто поверхность в евклидовом пространстве, и её геометрия есть просто часть евклидовой геометрии, как и сферическая геометрия. Не может «псевдосфера» быть подпространством и в каком-либо другом пространстве из-за своей нерегулярности. Хотя «псевдосфера» и имеет постоянную полную кривизну, но её нормальная кривизна не постоянна - «псевдосфера» не однородна, не изотропна, и даже не гладка. Тогда как пространство и его подпространства должны быть однородными и изотропными.
Для доказательства последнего утверждения не требуется измерять углы треугольников составленных из световых лучей или делать что-либо подобное. Дело совсем в другом. Как мы знаем, пространство есть абстракция. И на первом этапе становления этой абстракции это просто абстрагированная от материи протяжённость. В геометрии эта абстракция развивается дальше. На пространстве с помощью единицы длины вводится мера протяжённости, и задаётся правило пользования единицей длины, которое вытекает из естественного требования, что результат измерения должен быть однозначным. Этому требованию, в силу своей единственности, отвечает лишь кратчайшее расстояние, откуда с необходимостью следует, что расстояния должны измеряться (т.е. единица длины должна откладываться) по линиям кратчайших расстояний - по геодезическим. Неизменность единицы длины, т.е. её неизменность при переносах и поворотах в пространстве, означает, что в пространстве нет ни выделенных мест, ни выделенных направлений - они неотличимы друг от друга - пространство однородно и изотропно. Подпространства это свойство наследуют.
Заметим также, что однородность и изотропность поверхности означает и то, что, если поверхность имеет кривизну, то её нормальная кривизна должна быть постоянной, везде и по всем направлениям. Действительно, непостоянство кривизны по месту означало бы неоднородность поверхности, а непостоянство по направлениям - что поверхность не изотропна. Сказанное справедливо, конечно, и для подпространств.
Так мы приходим к заключению, что подпространство, на котором должна выполняться «планиметрия» Лобачевского, должно быть однородной изотропной поверхностью отрицательной кривизны. Это означает, что постоянной должна быть не только полная кривизна поверхности, K, но и нормальная кривизна поверхности, k. Значит K = kІ, как на сфере, но с тем отличием, что здесь значение K отрицательно. Откуда следует, что нормальная кривизна k есть корень из отрицательного числа, т.е. является мнимым числом, а, следовательно, мнимым числом является и величина обратная нормальной кривизне - радиус кривизны поверхности, R.
Вывод: «плоскость Лобачевского» есть «сфера мнимого радиуса». И именно для неё как нельзя лучше подходит название псевдосфера, которое Бельтрами не совсем удачно использовал для поверхности Миндинга - поверхности вращения трактрисы.
Из сходства псевдосферы со сферой следует и сходство псевдосферической «геометрии» со сферической геометрией. Утверждения псевдогеометрии получаются из утверждений сферической геометрии заменой действительного радиуса на мнимый:
R > iR.
Соотношения:
позволяют избавляться в формулах псевдогеометрии от мнимой единицы, заменяя тригонометрические функции мнимого аргумента гиперболическими функциями действительного аргумента. Примеры:
|
Сферическая геометрия |
Псевдогеометрия |
||
|
Аналог теоремы Пифагора |
|||
|
Длина окружности |
|||
|
Площадь круга |
|||
|
Площадь треугольника |
|||
|
Площадь двуугольника |
|||
|
Площадь поверхности всей сферы (псевдосферы) |
Рис. 2 Прямоугольный сферический треугольник
Вернёмся теперь ещё раз к истории создания «неевклидовой геометрии». В 1766 году Иоганн Генрих Ламберт написал, опубликованную лишь 20 лет спустя, работу «Теория параллельных». Приведём цитату из статьи А. Д. Александрова «Тупость и гений»:
«Из довольно многочисленных (55) появившихся в 18 в. сочинений по теории параллельных особенно выделяется написанная в 1766 г. "Теория параллельных" И. Г. Ламберта, немецкого математика, физика и астронома. Ведя доказательство пятого постулата от противного, Ламберт вывел из его отрицания много следствий. Он, можно сказать, в значительной мере построил основы геометрии Лобачевского. В его выводах не было противоречия, и он не подумал, что нашел его, как это делали почти все его предшественники. Ламберт даже высказал мысль, что он "почти должен сделать вывод", что опровергаемая им гипотеза "имеет место на какой-то мнимой сфере". Но все же он остался уверен, что геометрия, основанная на отрицании пятого постулата, невозможна».
В 1825 и 1826 году Франц Адольф Тауринус опубликовал две работы по «неевклидовой геометрии»: «Theorie der Parallellinien» и «Geometriae prima elementa». Приведём цитату из книги Х. Хармута «Применение методов теории информации в физике». В пункте 1.2. «Переход от евклидовой геометрии к неевклидовой» (стр.17) он пишет:
«Рассмотрим сферу радиуса R. Замена действительного радиуса R мнимым радиусом k = iR.... Франц Тауринус (1794--1874) использовал эту подстановку для перехода от сферической геометрии к новой геометрии, названной им логарифмо-сферической. В этой геометрии, которая сегодня известна под названием псевдосферической..., сумма углов треугольника всегда меньше р, тогда как в сферической геометрии она больше р. В обеих геометриях сумма углов стремится к р, если длина сторон треугольника стремится к нулю. Таким образом, было показано, что евклидова геометрия оказывается промежуточной при переходе от сферической геометрии к псевдосферической, если радиус R сферы увеличить до бесконечности, затем превратить его в мнимое число iR и опять уменьшить до конечных значений iR».
Мы видим, что в истории «неевклидовой геометрии» были люди, очень близко подошедшие к пониманию и правильной интерпретации гиперболической «геометрии» как геометрии сферы мнимого радиуса, или псевдосферической. Скорее всего, именно Франца Тауринуса следует считать первооткрывателем псевдосферической геометрии в её правильной интерпретации. Хотя, конечно, у него были предшественники в лице Иоганна Ламберта и его, Тауринуса, дяди, Фердинанда Карла Швейкарта (1780-1857), известного как автор письма, написанного Гауссу в 1818 году, в котором впервые явно утверждается о существовании неевклидовой геометрии.
Мнимый характер «планиметрии» Лобачевского, переносится и на «геометрию» Лобачевского в целом. Вывод: «геометрия» Лобачевского есть псевдогеометрия, и не может быть неевклидовой геометрией - геометрией искривлённого пространства.
Остаётся сфера. Сфера является однородной и изотропной поверхностью положительной кривизны. Поэтому сфера могла бы служить примером положительно искривленного подпространства, и прототипом положительно искривленного пространства, если бы не было верно следующее утверждение:
Пространство не может быть искривлённым.
Для доказательства посмотрим сначала, к чему приводят деформации материальной среды в пространстве и как это влияет на само пространство. Поскольку наше пространственное воображение радикально ограничено размерностью 3, и выход в следующее, 4-е, измерение нам недоступен, и, следовательно, представить себе, как выглядело бы искривлённое пространство, мы не можем, то рассмотрим для наглядности сначала гипотетические пространства меньшей размерности, которые легко себе представить и искривленными.
Начнём с размерности 1. Материальную среду в одномерном пространстве будет моделировать стержень бесконечной длины. Поскольку, как мы договорились, мы рассматриваем пространство, а не подпространство, то, для того чтобы ограничить наши действия действительно одним измерением, поместим этот стержень в трубу, с метками на расстоянии единицы длины. Таким образом, труба моделирует наше одномерное пространство.
Займёмся теперь деформацией материальной среды - стержня. Очевидно, единственное, что мы можем сделать с ним в трубе - это растянуть или сжать по длине. Как-нибудь искривить его при этом не удастся. Растягивать или сжимать при этом также и трубу, наше пространство, не имеет смысла, так как при этом была бы испорчена единица длины, и мы не могли бы определить, насколько деформирован стержень, и деформирован ли вообще.
Перейдём к размерности 2. В этом случае материальную среду будет представлять плоскость, помещённая между двух других плоскостей, изображающих двумерное пространство и имеющих координатную сетку. Ситуация здесь аналогична случаю размерности 1: никакие деформации плоскости-среды не могут её искривить - для искривления требуется выйти в третье измерение, которое отсутствует. И так же изменения среды никак не влияют на плоское пространство.
И наконец, обратимся к размерности 3. В этот раз мы имеем реальную среду и истинное, трёхмерное, пространство, которое не требует имитации ограничения размерности, как в предыдущих случаях, поскольку имеется естественное ограничение - размерности 4 не существует. Наученные случаями меньших размерностей, мы понимаем, что и в этом случае никакие деформации среды не приведут к её искривлению - для этого потребовалось бы несуществующее четвёртое измерение, и так же деформации среды никак не могут повлиять на пространство.
Итак, мы выяснили, что деформации пространственной среды не могут придать ей кривизну, и никак не влияют на пространство, просто потому, что пространство есть абстракция, и нам незачем его изменять или разрешать ему изменяться вместе со средой. Наоборот, неизменность пространства нам необходима, чтобы иметь возможность измерять изменения среды.
Может возникнуть вопрос: «А почему пространство изначально должно быть евклидовым, т.е. плоским, неискривлённым? Почему мы не взяли в нашем мысленном эксперименте в случае размерностей 1 и 2 в качестве пространства, вместо прямого стержня и плоскости, окружность и сферу?» Ответ очевидный - потому что для кривизны требуются дополнительные измерения. Необходимость в дополнительных измерениях приводит к тому, что такие искривлённые «пространства», как окружность и сфера, на самом деле есть лишь линия и поверхность - дополнительные измерения «используются не по назначению» - не для протяжённости, а для кривизны.
Из сказанного следует вывод: пространства не могут иметь кривизны, кривыми могут быть только линии и поверхности.
Итак, мы видим, что ни сферическая, ни псевдосферическая, геометрии, по разным причинам, не могут быть геометриями пространства альтернативными евклидовой геометрии - геометриями искривлённого пространства. Одна, сферическая, есть лишь раздел настоящей геометрии, евклидовой. Другая, псевдосферическая, вообще, есть геометрия невозможного, мнимого объекта - сферы мнимого радиуса, псевдосферы - псевдогеометрия. А её локальное подмножество, представляющее внутреннюю геометрию реальных поверхностей постоянной отрицательной кривизны, есть, так же как и сферическая геометрия, лишь раздел евклидовой геометрии.
Вывод: существует единственная геометрия пространства - геометрия. Пространство трёхмерно, однородно, изотропно и прямолинейно (не имеет кривизны). Прямолинейность и наличие меры означают, что пространство имеет евклидову метрику, т.е. что в пространстве справедлива теорема Пифагора. Такое пространство называется евклидовым.
5. Время и движение
Современное представление о времени включает в себя понятие меры времени. Если, как мы установили, время есть абстрагированное движение материи, то мерой времени будет мера движения материи, которая может быть установлена с помощью эталона движения материи- часов.
Эталоном движения материи, т.е. часами, могут служить регулярные движения отличающиеся постоянством своих параметров. Значение времени является непрерывно меняющейся величиной. Поэтому теоретически в качестве часов идеально подходит движение по инерции. Значением времени в этом случае может служить непрерывно меняющаяся координата эталонного движения по инерции. материя время пространство движение