Материал: Исследование динамических ошибок систем радиоавтоматики по их линейным моделям. методические указания к лабораторно-практическому занятию № 4. Володько А.В
ФГБОУ ВО «Воронежский государственный технический университет»
Кафедра радиоэлектронных устройств и систем
ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ ОШИБОК СИСТЕМ РАДИОАВТОМАТИКИ ПО ИХ ЛИНЕЙНЫМ МОДЕЛЯМ
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
к лабораторно-практическому занятию №4 дисциплины «Радиоавтоматика»
для студентов специальности 11.05.01 «Радиоэлектронные системы и комплексы» очной формы обучения
Воронеж 2016
Составитель: канд. техн. наук А.В. Володько
УДК 621.396 Исследование динамических ошибок систем
радиоавтоматики по их линейным моделям: методические указания к лабораторно-практическому занятию № 4 дисциплины «Радиоавтоматика» для студентов специальности 11.05.01 «Радиоэлектронные системы и комплексы» очной формы обучения / ФГБОУ ВО «Воронежский государственный технический университет»; сост. А.В. Володько. Воронеж, 2016. 16 с.
Работа содержат практические и лабораторные задания курса «Радиоавтоматика», посвященным исследованию динамических ошибок в условиях линейности следящей системы, а также составлению математических моделей этих систем. В методических указаниях содержатся необходимые для этого расчетно-методические материалы.
Предназначено для студентов специальности «Радиоэлектронные системы и комплексы» очной формы обучения.
Методические указания подготовлены в электронном виде и содержаться в файле «Лабораторная работа №4.pdf»
Ил. 2. Библиогр.: 2 назв.
Рецензент канд. техн. наук, доц. С.М. Федоров
Ответственный за выпуск зав. кафедрой д-р физ.-мат. наук, проф. Ю.С. Балашов
Издается по решению редакционно-издательского совета Воронежского государственного технического университета.
© ФГБОУ ВО «Воронежский государственный технический университет», 2016
1. ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Цель работы: освоение на практике методики моделирования и определения динамических ошибок следящих систем радиоавтоматики на ЭВМ, закрепление знаний о поведении систем при различных входных (задающих) воздействиях.
В общем случае анализ систем слежения, и в частности, систем радиоавтоматики, сводится к решению системы нелинейных дифференциальных уравнений. Однако единых общих приемов и методов решения таких трансцендентных уравнений не существует. Для анализа состояния системы применяют метод частичной леаниризации, заключающийся в аппроксимации нелинейной зависимости как некоторой прямой (линейной зависимости). Такой подход справедлив в области малых возмущений и позволяет перейти от системы нелинейных дифференциальных уравнений к аналогичной системе линейных дифференциальных уравнений, методы решения которых относительно просты и хорошо исследованы. Анализ переходных процессов и явления потери устойчивости, в таком случае, осуществляется методом кусочной линеаниризации [1]. Решение позволяет определить время и характер установления фазы в системе, устойчивость и др. Однако, его точное аналитическое решение всегда можно получить лишь при линейной характеристике дискриминатора (предполагая что другие элементы следящей системы линейные) и в случае, если оно имеет первый порядок. При более высоком порядке и нелинейном дискриминаторе используют приближенные методы решения. К ним относятся методы основанные на линеаризации характеристик нелинейных звеньев при малых отклонениях и методы анализа на основе непрерывных кусочно-линейных функций.
Метод линеаниризации позволяют аппроксимировать нелинейные характеристики радиотехнических устройств отрезками прямых. При анализе, нелинейная нормированная характеристика дискриминатора системы ЧАП и ФАП описывается выражением, справедливым для произвольного
значения аргумента. Это позволяет снизить вычислительные затраты по сравнению с методом обычной кусочно-линейной аппроксимации, упростить анализ и получить аналитические выражения, справедливые на всей области изменения аргумента. В данной работе рассматривается лишь один линейный участок характеристики, выбор которого осуществляется автоматически (в близи нулевой точки) и не требует дополнительного разбиения диапазона изменения аргумента функции. Соответственно, линейными становятся и уравнения, описывающие поведение устройств, а их решение может быть найдено в аналитическом виде.
Содержание работы сводится к домашней подготовке математического описания изучаемых систем ФАП или ЧАП, служащего основой для моделирования, и проведения моделирования процессов в системе на лабораторном занятии в дисплейном классе с использованием IBM-совместимых ЭВМ. Теоретической базой проводимых исследований служит глава пятая учебника по курсу радиоавтоматики [1].
2. ПОДГОТОВИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ И УКАЗАНИЯ ПО ИХ ВЫПОЛНЕНИЮ
2.1. Задание первое
Составьте и занесите в отчет систему дифференциальных уравнений состояния, описывающих процессы в линейной системе ЧАП или ФАП второго порядка (повариантно).
Для выполнения задания необходимо использовать линеаризованные структурные математические схемы систем ЧАП и ФАП второго порядка, представленные на рис. 1.
2
(t) |
x(t) |
SдKкSр |
|
y(t) |
(pT1 1)(pT2 1) |
|
|
|
|
|
ЧАП |
(t) |
x(t) |
S д K к S р |
|
|
y(t) |
p (pT 1 |
1) |
|
|
|
|
|
|
ФАП |
|
Рис. 1. Структурные математические схемы линейных следящих систем радиоавтоматики второго порядка
Как видно из рис. 1, содержащиеся в реальной следящей системе нелинейные звенья – дискриминаторы и управляемые генераторы – заменены линейными пропорциональными звеньями с коэффициентами усиления, равными крутизне дискриминационной и регулировочной характеристик Sд и Sp. Очевидно, что подобная линеаризация обусловлена малым уровнем воздействий на входе указанных звеньев, не выходящим за пределы линейных участков их характеристик управления. Инерционность дискриминаторов учтена введением в схемы звеньев с передаточной функцией
1 (pT1 1). |
Кроме |
того, |
в схему ЧАП дополнительно |
||
включена |
инерционная |
часть |
корректирующего |
звена |
|
Kк (pT2 1) для |
подавления |
высоких частот, а |
в схему |
||
ФАП – пропорциональное звено с коэффициентом усиления
Kк .
Далее будем полагать, что результирующая добротность (коэффициент усиления) исследуемых систем равна K0, где K0 SдKкSр. Размерность коэффициента K0 для систем ЧАП и
ФАП различна: в первом случае добротность безразмерная величина, во втором выражается в c-1. Анализируемые следящие системы являются устойчивыми.
В качестве задающих воздействий λ(t) в схемах на рис. 1 и далее по тексту приняты отклонение мгновенной частоты сигнала приемника от номинальной (промежуточной) для ЧАП и текущая фаза сигнала для ФАП.
Выбор типа анализируемой в текущем задании системы второго порядка (ЧАП или ФАП) осуществляется в соответствии с номером варианта (N), заранее выданным преподавателем. Если номер Вашего варианта N– четное число, производится анализ системы ЧАП (рис. 1,а), если нечетное – ФАП (рис. 1,б).
Приняв в качестве переменных (функций) состояния системы второго порядка процессы на выходах линейных динамических звеньев, следует записать операторные, а затем и дифференциальные уравнения состояния.
Очевидно, что одной из переменных состояния при таком их выборе будет выходной процесс системы y(t).
Запишите систему уравнений состояния в матричной форме. Запишите вековое уравнение линеаризованной системы. Покажите, что характеристическое уравнение Вашей системы эквивалентно вековому уравнению. Элементы методики описания следящих систем радиоавтоматики уравнениями состояния имеются в учебнике [1].
2.2. Задание второе
Покажите, что если в рассматриваемой линейной системе второго порядка (ЧАП или ФАП, рис. 1) пренебречь инерционностью дискриминатора, то полученная Вами ранее система уравнений состояния сводится к одному дифференциальному уравнению. Методом Эйлера осуществите переход от этого уравнения к разностному рекуррентному уравнению, пригодному для моделирования линейной системы первого порядка на ЭВМ.
Если в линейной системе ЧАП или ФАП второго порядка (рис. 1) пренебречь инерционностью дискриминатора (T1=0), то структурные схемы анализируемых систем примут вид, показанный на рис. 2.
3 |
4 |
(t) |
x(t) |
K 0 |
|
y(t) |
pT 2 1 |
|
|
|
|
|
ЧАП |
(t) |
x(t) |
K 0 |
|
y(t) |
p |
|
|
|
|
|
ФАП |
Рис. 2. Структурные математические схемы линейных следящих систем радиоавтоматики первого порядка, используемые в дальнейшем при выполнении работы
Запишите для Вашей линейной системы первого порядка (рис. 2) дифференциальное уравнение состояния. Заметим, что при изменении передаточной функции разомкнутой следящей системы (в нашем случае – упрощении) необходимо заново осуществить построение модели по переменным состояния, так как, если просто приравнять постоянную времени Т1 нулю в уравнениях, полученных Вами в п. 2.1 для модели рис. 1, то новая модель (рис. 2) окажется принципиально неверной.
Единственная переменная состояния системы первого порядка будет представлять собой выходной процесс системы y(t).
Используя метод Эйлера, перейдите от дифференциального уравнения состояния к рекуррентному разностному уравнению, определяющему переменную состояния (реакцию системы y(t)). Сведения по этому вопросу можно найти в учебном пособии [2]. Минимально необходимые сведения о методе Эйлера заключаются в следующем.
Неизвестная функция y(t), которую требуется найти из дифференциального уравнения состояния dy/dt=Ф(t,y,λ), предполагается разложенной в ряд Тейлора в окрестности
точки ti (на i-м такте моделирования): |
|
y(t) y(ti ) y (ti ) (t ti ), |
(1) |
(в ряде удерживаются только первые два члена).
Подставив в это выражение производную dy/dt из дифференциального уравнения состояния анализируемой следящей системы, получим
y(t) y(ti) (ti, yi, i) (t ti) . (2)
Выберем длину шага моделирования (дискретизации) небольшой и одинаковой для всех тактов: TД=ti+1–ti . Тогда рекуррентное выражение, определяющее значение неизвестной функции у(t) в близкой к ti точке ti+1, будет иметь следующий вид:
y(ti 1) y(ti) (ti, yi, i)Tд . |
(3) |
Этим выражением и следует воспользоваться при переходе от уравнения состояния к рекуррентному разностному уравнению для моделирования на ЭВМ.
2.3. Задание третье
Оцените аналитически шаг дискретизации TД анализируемых линейных систем первого порядка.
Вне зависимости от варианта этот пункт работы, равно как и последующие, каждому студенту необходимо выполнять полностью, т. е. расчет следует провести для обеих систем, представленных на рис. 2.
Очевидно, что шаг дискретизации (моделирования) TД должен быть значительно меньше времени установления процессов в замкнутой следящей системе ty. Поэтому предварительно необходимо рассчитать время установления переходных процессов ty в исследуемых системах ЧАП и ФАП первого порядка. При этом достаточно следующей оценки времени установления:
tу 3 |
, |
(4) |
|
max |
|
где max реальная часть ближайшего к мнимой оси полюса
передаточной функции замкнутой системы. Найдите его. В качестве ориентировочного расчетного значения шага дискретизации возьмите TДР=0,1 ty.
5 |
6 |
При расчетах необходимо взять следующие исходные параметры систем: К0=2N, T2=0.05N c, где N – номер Вашего варианта. Об оценке времени установления переходного процесса можно получить сведения в учебнике [1].
2.4. Задание четвертое
Проведите расчет остаточной расстройки в анализируемых линейных системах ЧАП и ФАП первого порядка, если на входе этих систем частота сигнала изменилась скачком на величину c 2N рад
с, где N –
номер Вашего варианта.
При расчете остаточной расстройки следует воспользоваться методом коэффициентов ошибок [1]. Заметим, что входное воздействие в виде скачкообразного (ступенчатого) изменения частоты сигнала для систем ЧАП и
ФАП записываются по-разному: |
(t) c 1(t) |
для ЧАП и |
(t) c t 1(t) для ФАП. |
Остаточную |
расстройку |
(установившуюся ошибку) следует подсчитать в соответствии с выражением, приведенным в учебнике [1]. Обратите внимание на то, что для определения коэффициентов ошибок необходимо использовать передаточные функции по ошибке K x(p), а не передаточные функции «вход-выход» K y(p) или
разомкнутой системы Kp (p).
Для системы ФАП, кроме того, необходимо рассчитать установившуюся ошибку при ступенчатом (скачкообразном) изменении фазы сигнала: (t) c 1(t), где c 2N рад.
В расчетах принять величину K0 равной 2N, где N –
номер Вашего варианта.
2.5. Задание пятое
Определите установившиеся ошибки в системах ЧАП и ФАП первого порядка, если отслеживаемая частота меняется со скоростью 2N рад/с2, где N – номер варианта.
Задание выполняется аналогично предыдущему – методом коэффициентов ошибок. При выполнении задания следует обратить внимание на запись (t) для системы ФАП – входное воздействие будет иметь квадратично нарастающий вид.
3. Вопросы для самопроверки при подготовке к выполнению лабораторных исследований и защите работы
3.1.На базе какого математического описания систем радиоавтоматики осуществляется их моделирование?
3.2.Что такое функции (переменные) состояния системы? Как составить дифференциальные уравнения относительно этих функций?
3.3.Что такое главный определитель системы? Как он связан с характеристическим полиномом системы?
3.4.В чем состоит метод Эйлера перехода от дифференциальных уравнений к разностным при моделировании следящих систем радиоавтоматики на ЭВМ?
3.5.Как выбрать шаг моделирования (дискретизации)
системы?
3.6.Какие системы называются статическими? Какие астатическими?
3.7.Зависит ли астатизм системы от точек приложения воздействия и съема реакции?
3.8.Как найти установившуюся ошибку в системе, используя теорему о конечном значении функции, заданной своим изображением по Лапласу?
3.9.В чем заключается расчет ошибок при использовании метода коэффициентов ошибок?
3.10.Как следует изменить коэффициенты системы
Sд, Kк , Sр , чтобы уменьшить ошибки по положению? По скорости?
3.11. Влияет ли усиление системы K0 на время установления процессов в этой системе?
7 |
8 |