Материал: Использование математического моделирования при решении экономических вероятностных задач. методические указания для организации самостоятельной работы. Дежин В.В

7.3.Контрольные вопросы и задания

1.Приведите примеры случайных величин в информационных системах.

2.Назовите два типа случайных величин.

3.Что такое закон распределения ДСВ?

4.Как строится многоугольник распределения ДСВ?

5.Чем отличается непрерывная СВ от дискретной СВ?

6.Чему равна вероятность P X x0 для НСВ?

7.Разберитесь в решении задач [2], №№ 164, 166, 170, 172, 174, 182.

7.4.Задачи для самостоятельной работы

1. Решите задачи [2], №№ 165, 167-169, 173, 175..

Форма отчетности: устный опрос, контрольная работа, типовой расчет, коллоквиум, экзамен.

Занятие № 8

ФУНКЦИЯ И ПЛОТНОСТЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

8.1.Основные понятия

Вобщем случае наиболее распространенной формой записи закона распределении как для дискретных, так и для непрерывных случайных величин (СВ) является функция распре-

деления.

Функцией распределения случайной величины X называется функция FX x действительной переменной x ,

определяемая формулой

то есть FX x это вероятность того, что случайная вели-

чина X примет значение меньшее некоторого числа x.

Функция распределения FX x или просто F x являет-

ся самой полной характеристикой СВ; задать СВ означает задать ее функцию распределения.

Рассмотрим основные свойства функции распределения. 1. F x – неубывающая функция на всей числовой оси,

то есть если x1 x2 , то F x1 F x2 . 2. F x непрерывна слева, то есть

lim F x F x0 0 F x0 .

x x0 0

3. Для всех x выполняется соотношение 0 F x 1,

причем F 0, F 1.

Следствие. Вероятность того, что СВ заключена в определенных пределах, равна

Из формулы (8.5) в частном случае x1 x2 x получается выражение для вероятности принять СВ X значение x:

Для дискретной случайной величины (ДСВ) функция распределения является другой формой записи ее закона распределения. Зная ряд распределения ДСВ, можно записать ее функцию распределения и наоборот. Так, если известен закон

распределения СВ X , то ее функция распределения определяется следующим соотношением

Из формулы (8.3) видно, что функция распределения любой ДСВ является разрывной функцией. Она принимает постоянное значение в промежутках между соседними значениями xk 1, xk и возрастает скачком в точке разрыва x xk . Величи-

на скачка в точке xk согласно формуле (8.6) равна вероятности принять СВ значение xk :

F xk 0 F xk P X xk pk .

Типичный график функции распределения ДСВ изображен на рис. 4 для случая пяти возможных значений СВ.

В занятии 7 было дано нестрогое определение непрерывной случайной величины (НСВ) Приведем строгое определение НСВ.

Случайной величиной X называется непрерывной (аб-

солютно непрерывной), если существует неотрицательная

вероятностей (или просто плотностью распределения) случайной величины X .

Для НСВ плотность распределения вероятностей является основной характеристикой.

Плотность распределения вероятностей обладает сле-

Приведенные свойства плотности распределения вероятностей имеют наглядную геометрическую интерпретацию, которая проиллюстрирована на рис. 5.

Рис. 5

Из определения (8.8) следует, что функция распределения НСВ является непрерывной функцией, поэтому согласно формуле (8.6) P X x F x 0 F x 0 , то есть вероятность

попасть в точку для НСВ равна нулю. Отсюда следуют следующие равенства:

P x1 X x2 P x1 X x2P x1 X x2 P x1 X x2 .

Типичный график функции распределения НСВ X изображен на рис. 6.

FX(x) 1

Рис. 6

8.2. Примеры решения задач

Пример 1. В условиях примера 1 из занятия 7 найти функцию распределения и начертить ее график.

Решение. Из найденного закона распределения

определяем, что при x 0 функция распределения

F x P X 0 0.

Если 0 x 1, то F x P X 1 P X 0 0,4096.

Если 1 x 2, то

F x P X 2 P X 0 P X 1

0,4096 0,4096 0,8192.

Если 2 x 3, то

F x P X 3 P X 0 P X 1 P X 2

0,4096 0,4096 0,1536 0,9728.

Если 3 x 4, то

F x P X 4 P X 0 P X 1 P X 2 P X 3

0,4096 0,4096 0,1536 0,0256 0,9984.

Соответствующий график функции распределения вероятностей изображен на рис. 7.

F(x)

0,99841 0,9728

0,8192

0,4096

0

Рис. 7

Пример 2. В условиях примера 2 из занятия 7 найти функцию распределения и начертить ее график.

Решение. Из найденного закона распределения

Таблица 5

определяем, что при x 1 функция распределения

F x P X 1 0.

Если 1 x 2, то F x P X 2 P X 1 0,2.

Если 2 x 3, то

F x P X 3 P X 1 P X 2 0,2 0,6 0,8.

Если x 3, то

F x P X 3 P X 1 P X 2 P X 3

0,2 0,6 0,2 1.

Таким образом, искомая функция распределения имеет вид:0 при x 1

0,2 при 1 x 2

F x

0,8 при 2 x 3

1 при x 3

Соответствующий график изображен на рис. 8.

F(x)

1

0,8

0,2 0

Рис. 8

Пример 3. Функция распределения НСВ X (времени безотказной работы электронного устройства) равна

Найти: а) плотность распределения вероятностей; б) вероятность безотказной работы устройства за время x T .

Вероятность безотказной работы устройства за время x T определим по формуле (8.9):

P T X F F T 1 1 e 1 1e 0,37 .

Пример 4. Случайная величина эксцентриситета детали X имеет плотность распределения вероятностей

8.3.Контрольные вопросы и задания

1.Дайте определение функции распределения вероятностей случайной величины.

2.Назовите основные свойства функции распределения.

3.Чему равна вероятность того, что СВ заключена в определенных пределах.

4.Как определяется функция распределения для ДСВ?