Ниже приводится пример цикла, выполнение которого направлено на обоснование свойства многочлена степени меньшей : он может быть однозначно восстановлен, если известны его значения в точках. Упражнения 1-9 обосновывают существование многочлена с нужными свойствами. В заданиях 11-14 дается геометрическая иллюстрация обсуждаемого свойства многочленов. Выполнив задание 10, студент доказывает неочевидное утверждение: все функции, отображающие конечное поле в себя, являются многочленами. Наконец, в последних упражнениях студент вводится в некоторый круг олимпиадных задач, связанных с многочленами.
1. Пусть - бесконечная область целостности, , причем , и известно, что значения многочленов и совпадают на множестве, состоящем из элементов. Что можно утверждать о многочленах и и порождаемых ими функциях?
2. Дайте другую формулировку предыдущему утверждению, начав её словами: «Для любого натурального над бесконечной областью целостности существует не более одного многочлена, степень которого …».
3. Из предыдущих заданий следует, что над бесконечной областью целостности для любого натурального числа найдется не более одного многочлена, степень которого меньше и который принимает данные значения в точках, выбранных произвольным образом. Какой естественный вопрос теперь возникает?
4. Верно ли, что если - бесконечная область целостности, то для любого натурального числа в кольце найдется многочлен, степень которого меньше и который принимает данные значения в выбранных точках?
5. Найдите какое-либо условие, которому должна удовлетворять бесконечная область целостности для того, чтобы при любом натуральном в кольце существовал многочлен, степень которого меньше и который принимает данные значения в выбранных точках?
6. Сформулируйте результаты, полученные в заданиях 3 и 5, в виде одного утверждения.
7. Использовалось ли при доказательстве утверждения, полученного в задании 5, бесконечность области целостности ?
8. Пусть - поле, - попарно различные элементы из . Найдите многочлены над полем , степень которых меньше и такие, что для любого выполняется , а для любого верно . 9. Пусть - поле, - попарно различные элементы из , а - произвольные элементы . Постройте многочлен степени меньшей , такой, что для любого выполняется равенство .
10. Пусть - поле, состоящее из элементов. Тогда для того, чтобы задать функцию необходимо и достаточно задать образы всех элементов поля . Какой вывод Вы можете сделать, учитывая результаты, полученные ранее? (Какой вид имеют функции, отображающие в себя?)
11. Пусть , степень равна . Дайте геометрическую иллюстрацию утверждению «Многочлен степени над полем действительных чисел имеет не более корней». Обобщите полученное утверждение.
12. Для многочленов над полем действительных чисел дайте геометрическую интерпретацию утверждению, полученному при выполнении задания 6.
13. В школьном курсе алгебры подробно изучаются многочлены первой и второй степени. Специализируйте для этих случаев утверждение, полученное при выполнении задания 12.
14. Найдите какой-нибудь класс функций действительной переменной, которые обладают следующим свойством: графики двух произвольных функций из этого класса совпадают, если они совпадают на каком-либо числовом промежутке.
15. Доказать, что для произвольных попарно различных действительных чисел и произвольного действительного справедливо равенство: .
16. Укажите несколько тождеств, справедливость которых можно доказать рассуждениями, аналогичными тем, что использовали, решая предыдущую задачу.
17. (10-я Всесоюзная математическая олимпиада) По трем прямолинейным дорогам с постоянными скоростями идут три пешехода. В начальный момент времени они не находились на одной прямой. Докажите, что они могут оказаться на одной прямой не более двух раз. Систематическое использование описанных учебно-исследовательских заданий заметно повышает качество образования, о чем свидетельствует ежегодная диагностика успешности усвоения курса. Результаты выполнения обзорного теста по дисциплине «Алгебра», показанные студентами экспериментальных групп, значительно выше, чем в контрольных. Обработка полученных данных с помощью критерия свидетельствует о том, что разница частот контрольного и экспериментального ряда является статистически достоверной (нулевая гипотеза опровергается на уровне значимости ). Другим положительным результатом нашей методики является заметный интерес студентов к методическим вопросам курса, повышение их творческой активности в процессе решения математических задач, профессионально значимой инициативы в постановке методических вопросов.
В то же время описание одного цикла, ситуационно полного в методическом отношении, представляет собой сложную проблему. Решение ее часто проводится на чисто интуитивном уровне и существенно зависит от опыта педагога, от уровня его математического образования и методической подготовки, от его задачной эрудиции. Не последнюю роль играет его интеллектуальная инициатива, желание найти хорошую задачу, которая «делает нас умнее» (Ю.И. Манин). Мы видим свою дальнейшую задачу в описании алгоритмов построения цикла, основанных на обобщении. Поэтому важной представляется систематизация разнообразных приемов варьирования задач. Как верно заметил Г.В. Дорофеев: «такая систематизация является необходимым средством обучения учителей (как настоящих, так и будущих) умению видеть взаимосвязи отдельных, внешне разрозненных задач, объединенных общими идеями». Ее актуальность и одновременная сложность как в теоретическом, так и практическом плане объясняется прежде всего оптимизационным характером методической проблемы. «Требуется найти наилучшее сочетание минимизирующего и максимизирующего факторов: теоретической обобщенности приемов, с одной стороны, и возможности практической конкретизации этих приемов, с другой стороны» [5].