Материал: Фарфоровская Ю. Б. Математика. Дискретное и быстрое преобразование Фурье

ние Фурье дало бы чисто вещественные wj, (т. е. аналог косинуспреобразования Фурье), а если f(t) была как бы «нечетной» относительно

бы чисто мнимыми.

Замечание. На самом деле самую важную роль ДПФ играет в фильтрации сигналов, т. е. разделении «смеси» 2 сигналов. Именно при этом используется самое важное свойство ДПФ, а именно, что преобразование Фурье от свертки (круговой) двух последовательностей равно произведению дискретных спектров этих последовательностей. Таким образом, если фильтрационное устройство сделано так, что дискретный спектр его «мал» на определенных частотах, то прохождение временного сигнала через это устройство подавляет «ненужные частоты» дискретного спектра, а обратное преобразование Фурье дает приближенно тот же самый сигнал. Однако это уже проблемы специалистов по технике связи.

Пример 2. Рассмотрим функцию y = x2 на интервале [–1,1). Возьмем отсчеты (yi) этой функции с шагом h 161 , причем x0 = –1, тогда число от-

счетов будет равно N = 32. Выполним в программе МАТЛАБ прямое ДПФ,

обозначенное (zi) затем с порогом 0.1 заменим «мелкие» координаты нулями (zi ) , а затем выполним обратное ДПФ ( yi ) . Результаты этих вычисле-

ний приведены в следующей таблице

Анализируя приведенную выше таблицу мы видим, что при погрешности 3-го столбца по сравнению со вторым, не превышающей 0.1, погрешность 1-го и 4-го столбца не превышает 0.03. При этом если погреш-

26

ность нулевого значения равна 0.0295, 2-го и 31-го 0.0211, то остальных не превосходит 0.005.Такое «поведение» приближенного ДПФ объясняется тем, что при N = 32 нарушается «полная» симметрия, которая обеспечивает при четной функции наиболее хорошее приближение (заметим, что при таком N эта симметрия в принципе невозможна). Если бы мы взяли N = 31 и отбросили нулевой член, то совпадение 2-го и 4-го столбцов было бы более хорошим.

Далее мы приведем задания, выполнение которых требует использование стандартных программ.

Индивидуальные задания 21-40

В следующих примерах при N = 32 требуется вычислить отсчеты данной функции на интервале [a, b) с шагом h b32a , далее выполнить ДПФ

для этого дискретного вектора, затем найти приближенное ДПФ, заменив нулями координаты, значения которых по модулю меньше 0.1, после этого выполнить обратное ДПФ и сравнить полученный результат с отсчетами данной функции. При этом надо привести результаты этих действий, а также указать «абсолютную» погрешность отсчетов данной функции и вектора, полученного обратным ДПФ, погрешность без нулевого члена и число координат, замененных нулями.

21)y = (2x – 1)2, 3 , 5 . 22) y = x4 + x2 + 1, [–1, 1). 23) y = ln(1 + x2), [–1, 1).

2 2

31) y = (2x + 3)2(4x2 + 12x + 7), [–2, –1). 32) y = ln(1 + x + x2), [–1,0).

33)y = (2x + 1)4, 3 , 1 . 34) y = 3x4– x2–3, [–1, 1),

2 2

27

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Сергиенко, А. Б. Цифровая обработка сигналов / А. Б. Сергиенко. – СПб. : «Питер», 2008.

2. Солонина, А. И. Алгоритмы и процессоры обработки сигналов / А. И. Солонина, Д. А. Улахович, Л. А. Яковлев. – СПб : «ПХВ-Петербург», 2001.

3. Хэмминг, Р. В. Цифровые фильтры / Р. В. Хэмминг. Пер. с английского. – М. : «Советское радио», 1980.

28