Электрический заряд
Содержание
1. Поверхностная плотность электрического заряда. Поле равномерно заряженной бесконечной плоскости
2. Потенциал, разность потенциалов электростатического поля
3. Работа по перемещению электрического заряда в электростатическом поле
4. Циркуляция вектора напряженности
5. Связь между напряженностью и разностью потенциалов электростатического поля
1. Поверхностная плотность электрического заряда. Поле равномерно заряженной бесконечной плоскости
Поверхностная плотность электрического заряда численно равна заряду приходящемуся на единицу площади и определяется по формуле
(1)
- поверхностная плотность зарядов.
Теорема Гаусса имеет большое практическое применение. Для примера ее применения рассчитаем напряженность равномерно заряженной бесконечной плоскости.
В качестве замкнутой поверхности выберем цилиндр с площадью основания S перпендикулярной к поверхности плоскости.
Поток вектора ограничен двумя плоскими основаниями и определяется по формуле (2):
. (2)
По теореме Остроградского-Гаусса поток вектора напряженности
. (3)
Выразим заряд q через поверхностную плотность зарядов из формулы (1) и подставив в формулу (3),
. (4)
Левые части уравнений (2) и (4) равны, приравняем правые
,
отсюда
. (5)
2. Потенциал, разность потенциалов электростатического поля
Потенциалом электрического поля называется физическая величина равная отношению потенциальной энергии которой обладает заряд помещенный в данную точку поля, к этому заряду.
, (6)
Потенциал энергетическая характеристика поля. Потенциал точечного заряда:
, т. к. .
Когда поле образовано несколькими зарядами , то потенциал в данной точке равен алгебраической сумме потенциалов , создаваемых каждым зарядом в отдельности.
.
При перемещении заряда q1 из точки 1 в точку 2 будет совершаться работа равная:
электрический заряд напряженность потенциал
. (7)
Из формулы (6) , подставив в формулу (7) получим:
,
отсюда
(8)
разность потенциалов двух точек поля равна работе сил по перемещению единичного положительного заряда из одной точки поля в другую. , если q1 = +1.
Переместим теперь заряд q из бесконечности в данную точку поля .
Потенциал точки электрического поля равен работе перемещения единичного точечного заряда из бесконечности в данную точку.
3. Работа по перемещению электрического заряда в электростатическом поле
Перенесем заряд q из точки 1 в точку 2 электрического поля создаваемого зарядом q0 по произвольной кривой. Определим работу на элементарном участке dl
(9).
Сила F под действием которой заряд перемещается в поле может быть определена по закону Кулона
(10).
Из чертежа видно, что
(11).
Подставим правые части уравнения (10) и (11) в (9) получим:
(12)
- работа на элементарном участке dl.
Для того чтобы найти работу на участке 1-2 проинтегрируем (12) уравнение
(13)
- работа перемещения заряда в электрическом поле.
Из формулы видно, что работа по перемещению заряда в электрическом поле не зависит от траектории, а зависит от выбора начальной и конечной точки, следовательно электрическое поле - потенциально, а электрические силы - консервативные силы.
Очевидно, что работа по замкнутому контуру равна 0.
4. Циркуляция вектора напряженности
Циркуляция вектора напряженности.
Пусть единичный положительный заряд q перемещается в электрическом поле.
Работа по перемещению заряда определяется .
Известно, что напряженность электрического поля определяется по формуле , но q - единичный заряд, тогда - численно.
- проекция Еi на направление перемещения. - чтобы найти всю работу проинтегрируем последнее выражение.
- циркуляция вектора напряженности.
.
Циркуляция вектора напряженности по замкнутому контуру равна 0.
5. Связь между напряженностью и разностью потенциалов электростатического поля
Найдем связь между силовой характеристикой поля напряженностью и энергетической характеристикой ц - потенциалом.
Для вывода формулы введем понятие эквипотенциальная поверхность.
Эквипотенциальной называется поверхность потенциалы в любой точке которой одинаковы, например, на поверхности сферы окружающей заряд q. Причем напряженность направлена перпендикулярено эквипотенциальной поверхности.
Пусть пробный заряд q0 перемещается с одной эквипотенциальной поверхности с ц2 на другую с потенциалом ц1, причем ц2 > ц1. Расстояние между поверхностями Дх. Работа по перемещению может быть определена двумя способами:
(14),
, подставим в 14-е уравнение, получим
(15) ц1 «-» говорит о том, что заряд перемещается против силовых линий поля.
(16)
Левые части уравнений (15) и (16) одинаковы, приравняем правые:
. (17)