,
где .
Обозначим
- ОСШ при наличии ГУП, где
- ОСШ при оптимальном приеме СШПС на фоне ГБШ, а
(41)
- коэффициент корреляции между опорным сигналом и принимаемым, который учитывает неоптимальность приема. Видно, что если , то - ОСШ при наличии ГУП для оптимального приемника (5).
При не слишком малом ОСШ приближенное выражение для вероятности пропуска сигнала можно записать как [8]:
,
где
- интеграл вероятности [7]. Соответственно выражение для вероятности пропуска сигнала при отсутствии ГУП можно записать в виде:
,
где
- ОСШ для всей последовательности (1) при отсутствии ГУП. Очевидно
, или .
Таким образом, влияние ГУП на эффективность обнаружения описывается величинами и . Параметр (36) показывает во сколько раз уменьшилось ОСШ вследствие наличия ГУП, а параметр (40) во сколько раз при этом увеличилась вероятность ложной тревоги.
Воспользуемся критерием Неймана-Пирсона. Положим, что вероятность ложной тревоги , тогда вероятность пропуска сигнала будет определяться ОСШ , которое зависит от коэффициента корреляции .
Если использовать фильтровую реализацию, то фильтр на рис. 1 должен иметь характеристику вида:
.
Введем новую переменную , тогда . Подставляя в (41), получим:
, (42)
выбирается таким, чтобы числитель достигал максимума.
Запишем выражение для (42) в спектральном представлении. Для этого выразим сигнал и характеристику фильтра (рис. 1)
,
и подставим эти формулы в (42). Имеем:
. (43)
Выразим спектр сигнала и ИПФ фильтра через амплитудно-частотную и фазо-частотную характеристики:
, .
Тогда числитель (43) можно записать в виде:
.
Так как
,
то максимальное значение числителя (43) будет достигаться при
и соответственно проигрыш при применении вместо согласованного фильтра с амплитудно-частотной характеристикой будет минимальным. То есть, предполагается, что у используемого фильтра при этом имеет место наилучшая фазо-частотная характеристика (соответствует оптимальному фильтру). Тогда (43) перепишется как:
. (44)
Рассмотрим влияние незнания формы принимаемого сигнала на эффективность обнаружения для конкретной модели СШПС [6] - первой производной гауссова импульса
,
где -длительность импульса. Спектр такого СШПС будет иметь вид:
.
В качестве фильтра используем полосовой фильтр, пропускающий сигнал в диапазоне частот . Подставляя спектр сигнала и характеристику полосового фильтра в (44), получаем
. (45)
В случае, когда величина приближается к 1, используемый фильтр по своим характеристикам соответствует оптимальному. Выполняя интегрирование в (45), имеем:
. (46)
Введем следующие обозначения:
- нормированная на полосу частот сигнала минимальная частоту пропускания фильтра,
- нормированная полоса пропускания фильтра. Тогда (46) можно переписать как:
. (47)
Из этого выражения видно, что при обнаружении СШПС зависит от минимальной частоты пропускания фильтра , тогда как при приеме узкополосного сигнала [7], такой зависимости нет.
На рис.2 показаны зависимости от для различных .
Рис. 2. Графики зависимости от для различных .
Анализируя зависимости, представленные на рис. 2, можно сделать вывод, что при уменьшении полосы пропускания фильтра обнаружителя по сравнению с полосой СШПС ОСШ будет уменьшаться, соответственно вероятность пропуска сигнала будет расти. Вероятность пропуска сигнала возрастает и при несовпадении или не полном совпадении полос фильтра и СШПС. При увеличении полосы пропускания фильтра обнаружителя ОСШ возрастает вплоть до совпадения полос фильтр и сигнала. Дальнейшее увеличение полосы фильтра обнаружителя приведет к уменьшению ОСШ, так как фильтр кроме сигнала будет пропускать больше шума. Максимальное значение ОСШ достигается, когда полоса фильтра отстоит на 0,1 полосы сигнала от нижней частоты полосы СШПС (). Это объясняется тем, что спектр сигнала колокольной формы в области нижней и верхней частот имеет малую интенсивность.
Для нахождения вероятности ложной тревоги выберем полосу фильтра так, чтобы ОСШ было максимальным и соответственно вероятность пропуска сигнала - минимальной. В этом случае вероятность ложной тревоги (38) будет определяться параметром (34) и соответственно с его ростом возрастает, то есть увеличивается при расширении полосы пропускания фильтра обнаружителя.
Заключение
Проведенные исследования влияния несоответствия формы опорного и принимаемого СШПС с неизвестными параметрами на эффективность обнаружения позволяют оценить потери в эффективности обнаружения сигнала вследствие отклонения принятой модели от действительной формы принимаемого сигнала.
Литература
1. Трифонов А.П., Беспалова М.Б., Трифонов П.А. Сверхширокополосная совместная оценка дальности и скорости флуктуирующей цели. Радиоэлектроника, 2005.-№10.-с. 10-20 (Изв. вузов).
2. Радзиевский В.Г., Трифонов П.А. Модели сверхширокополосных сигналов. Радиотехника, 2006, № 6. - с. 112-118.
3. Трифонов А.П., Беспалова М.Б. Эффективность совместной оценки временного положения и периода следования импульсов при наличии неинформативных параметров. Радиотехника и электроника,- 1992- т. 37- №6- с. 1014-1023.
4. Астанин Л.Ю., Костылев А.А. Основы сверхширокополосных радиолокационных измерений. - М.: Радио и связь, 1989 - 192 с.
5. Радзиевский В.Г., Сирота А.А. Теоретические основы радиоэлектронной разведки. - М:. Радиотехника, 2004 - 384 с.
6. Бункин Б.В., Кашин В.А. Особенности, проблемы и перспективы субнаносекундных видеоимпульсных РЛС. Радиотехника. - 1995. - № 4-5. - с. 128-133.
7. Тихонов В.И. Оптимальный прием сигналов - М.: Радио и связь 1985 - 295 с..
8. Теория обнаружения сигналов. П.С. Акимов, П.А. Бакут, В.А. Богданович и др.; под ред. П.А. Бакута. - М.: Радио и связь, 1984 - 440 с.
9. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов сумм, рядов и произведений - М.: Наука 1971 - 1108 с.
10. Захаренко Г.А., Трифонов П.А. Влияние узкополосных помех на эффективность оценки параметров сверхширокополосных сигналов. Радиотехника, 2000, N9. - с. 52-58.