Воронежский государственный университет (ВГУ), Воронеж, Россия
Военный учебно-научный центр Военно-воздушных сил "Военно-воздушная академия имени профессора Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина"
(ВУНЦ ВВС "ВВА")
ЭФФЕКТИВНОСТЬ ОБНАРУЖЕНИЯ СВЕРХШИРОКОПОЛОСНЫХ СИГНАЛОВ НЕИЗВЕСТНОЙ ФОРМЫ
П.А. Трифонов, А.А. Тимошенко
Воронеж, Россия
Аннотация
Проведены исследования влияния отклонения принятой модели от действительной формы принимаемого сверхширокополосного сигнала (СШПС) с неизвестными временными параметрами на эффективность обнаружения.
Ключевые слова: сверхширокополосные сигналы, радиоэлектронная разведка.
The influence of deviation of the accepted model from the actual form of received ultrawideband signal with unknown time parameters on the detection efficiency is studied.
Keywords: ultrawideband signals, radio-electronic intelligence.
Содержание
Введение
В последнее время значительное внимание уделяется применению сверхкоротких (субнонасекундных) импульсов в радиолокации, радионавигации, связи и т.п. Об этом свидетельствуют работы [1-4] и др. Короткоимпульсные сигналы представляют собой частный случай сверхширокополосных сигналов (СШПС), использование которых имеет свою специфику и позволяет в принципе расширить возможности радиолокации. В [3] рассмотрена совместная оценка времени прихода и периода повторения последовательности СШПС на фоне гауссовского белого шума. Однако в ряде задач радиоэлектронной разведки [5] необходимо не только оценить время прихода и период повторения, но предварительно обнаружить последовательность СШПС с неизвестными временем прихода и периодом повторения. Кроме того, в отличии от задачи, рассмотренной в [3], в реальных условиях, кроме гауссовского белого шума часто действуют преднамеренные помехи, которые можно интерпретировать как гауссовский узкополосный процесс.
1. Алгоритмы обнаружения сверхширокополосных сигналов неизвестной формы
На практике, в большинстве случаев, форма принимаемого сигнал неизвестна или известна неточно, поэтому рассмотрим алгоритм квазиправдоподобного обнаружения последовательности СШПС с неизвестной формой, с неизвестными временем прихода и периодом повторения при наличии как гауссовского белого шума (ГБШ), так и гауссовской узкополосной помехи (ГУП).
Последовательность СШПС можно записать в виде [1]:
, (1)
где - время прихода последовательности, - период повторения, параметр определяет точку последовательности, с которой связано её время прихода . Так, при величина представляет собой время прихода первого импульса последовательности, при - время прихода середины последовательности, а при - время прихода последнего импульса последовательности. Функция описывает форму одного СШПС последовательности (1). Обозначим: - минимальная частота, а - максимальная частота спектра сигнала , - средняя частота. Показатель широкополосности запишется как [2] , где - полоса частот сигнала . При сигнал является сверхширокополосным [1, 2].
Пусть на интервале времени в случае наличия сигнала наблюдается реализация
, (2)
а в случае отсутствия сигнала
. (3)
Здесь - центрированный ГБШ с односторонней спектральной плотностью , - центрированная ГУП, которая обладает корреляционной функцией
и спектральной плотностью
. (4)
Процессы и предполагаются статистически независимыми.
Полагаем, что скважность последовательности (1) достаточно велика, так, что отдельные СШПС не перекрываются. Будем считать, что
, ,
а длины априорных интервалов возможных значений времени прихода и периода следования обозначим
, .
Считаем, что
и .
При воздействии только ГБШ логарифм функционала отношения правдоподобия (ФОП) можно записать в виде [4]:
. (5)
Эту функцию необходимо формировать для всех возможных значений времени прихода и периода следования .
Поскольку значения времени прихода и периода повторения неизвестны, для того, чтобы исключить их влияние на процесс обнаружения, необходимо заменить неизвестные истинные значения на их оценки максимального правдоподобия. Таким образом, при наличии только ГБШ, получаемый обнаружитель максимального правдоподобия вырабатывает величину [7, 8]
, , .
Решение о наличии сигнала принимается при
.
Если , принимается решение о том, что сигнал отсутствует, где - порог обнаружения.
В формуле (5) - опорный сигнал, форма которого при оптимальном приеме совпадает с формой принимаемого сигнала. В большинстве практических случаях форма принимаемого сигнал неизвестна или известна неточно, поэтому для обнаружения СШПС будем использовать квазиправдоподобный приемник, который синтезируется для некоторого ожидаемого сигнала , причем в общем случае .
При воздействии только ГБШ квазиправдоподобный приемник будет вырабатывать функцию, на основе значений которой принимается решение об отсутствии или наличии сигнала:
. (6)
Таким образом, при наличии только ГБШ, получаемый обнаружитель формирует величину [7, 8]
, , . (7)
Решение о наличии сигнала принимается при
. (8)
Если , принимается решение о том, что сигнал отсутствует, где - порог обнаружения.
2. Аппаратурная реализация обнаружителя сверхширокополосных сигналов неизвестной формы
сверхширокополосный субнонасекундный импульс радиолокация
Для аппаратурной реализации обнаружителя СШПС необходимо вырабатывать функцию (6) для всех возможных значений с шагом и с шагом . Поскольку представляет собой временное положение последовательности СШПС, можно, используя фильтровую реализацию, получить функцию как непрерывную функцию . Тогда обнаружитель должен содержать каналов с различными значениями , в каждом из которых будет вырабатываться как непрерывная функция . Получить функцию можно с помощью схемы, представленной на рис. 1.
Здесь обозначено: 1 - линейный фильтр с импульсной переходной функцией (ИПФ) , 2 - устройство задержки с отводами через время , 3 - сумматор. Устройство задержки 2 и сумматор 3 образуют гребенчатый фильтр 4 с ИПФ
,
а ИПФ всего устройства
. (9)
Покажем, что устройство на рис.1 вырабатывает функцию
. (10)
Вычисляя свертку реализации наблюдаемых данных (2) и ИПФ (9), для выходного сигнала гребенчатого фильтра, изображенного на рис. 1, получаем выражение
. (11)
Если блок 1 представляет собой фильтр, согласованный с сигналом , который в общем случае не соответствует принимаемому сигналу , то следует положить [1]
, (12)
где - задержка сигнала, величина которой обычно выбирается большей, чем его длительность. Подставляя (12) в (11), имеем сигнал на выходе фильтра:
.
Выбирая здесь
, (13)
приходим к выражению для сигнала на выходе квазиправдоподобного приемника (6). В блоке 5 на рис. 1 определяется величина абсолютного максимума выходного сигнала фильтра 4 на интервале
, (14)
где , .
Следовательно, блок 5 может быть реализован как пиковый детектор, в котором определяется наибольший максимум сигнала на интервале (14). Далее строится такой же канал и в нем определяется наибольший максимум сигнала при из интервала . В решающем устройстве сигналы на выходе каждого канала сравниваются между собой и находится канал с наибольшим значением. Сигнал на выходе этого канала сравнивается с порогом и выносится решение о наличии или его отсутствии в реализации наблюдаемых данных (2). В идеале число каналов должно быть бесконечным, однако на практике используют число каналов исходя из требований, предъявляемых к эффективности обнаружения и степени простоты аппаратурной реализации алгоритма обнаружения.
3. Анализ эффективности обнаружения сверхширокополосных сигналов неизвестной формы
Эффективность обнаружения последовательности СШПС можно характеризовать величинами вероятности ложной тревоги и вероятности пропуска сигнала [8].
Найдем вероятность ложной тревоги, используя алгоритм (8) при наличии ГУП. Реализация наблюдаемых данных при отсутствии сигнала имеет вид (3). Подставив (3) в (6), получим:
. (15)
Здесь - шумовая функция на выходе приемника максимального правдоподобия. Шумовая функция (15) представляет собой линейное преобразование гауссовского случайного процесса, следовательно является гауссовским случайным полем. Среднее значение этого поля , а корреляционная функция запишется как:
Здесь:
(17)
Рассмотрим свойства функции (17). Обозначим - длительность СШПС , так что , тогда при
.
Пусть минимальная скважность последовательности (1) достаточно велика, то есть:
, (18)
а также
, . (19)
Тогда
при
и при .
Таким образом (16) принимает вид:
, (20)
где
. (21)
Согласно (20), (21) при выполнении (18), (19) случайное поле (15) является однородным.
В соответствии с [8] выражение для вероятности ложной тревоги запишется как:
, , . (22)
Здесь
, , .
Очевидно, представляет собой функцию распределения величины абсолютного максимума шумовой функции (15). Точное выражение для функции получить не удается. Однако в [8] для случайного однородного гауссовского поля найдена аппроксимация функции распределения его абсолютных максимумов. Точность этой аппроксимации возрастает с увеличением порога и длин и априорных интервалов возможных значений времени прихода и периода следования СШПС. Используя результаты [8], можно аппроксимировать функцию распределения абсолютного максимума случайного поля (15) выражением вида:
.
Здесь
(23)
- дисперсия шумовой функции (15),
, (24)
(25)
-приведенная площадь области возможных значений времени прихода и периода следования.
Величина (25) определяет количество некоррелированных отсчетов поля (15) в области . В (25) матрица:
, (26)
где
(27)
- коэффициент корреляции шумовой функции (15). Подставляя функцию (20) в (27) и выполняя дифференцирование в (26), получаем, что
, где
. (28)
Здесь определяется из (17). Обозначим:
, (29)
тогда (25) перепишется в виде:
. (30)
Соответственно вероятность ложной тревоги (22) можно записать как:
(31)
Для расчета параметров, определяющих величину вероятности ложной тревоги, используем спектральное представление. Спектр ожидаемого СШПС, для которого синтезирован приемник (6) в последовательности (1), обозначим
.
Тогда параметр (25) перепишется в виде:
. (32)
Здесь - спектральная плотность ГУП (4). Используя спектральное представление, перепишем параметр (28)
. (33)
Соответственно в (29) параметр выразится как:
. (34)
Анализируя (33), (34), видим, что интенсивность опорного сигнала не влияет на эффективность обнаружения, а влияет только форма его спектра.
При отсутствии ГУП () параметр (32) будет иметь вид:
,
а (33) и (34) перепишутся следующим образом:
и .
Таким образом, вероятность ложной тревоги (24) при отсутствии ГУП можно записать как:
(35)
Обозначим отношение дисперсий шумовой функции (23) при наличии и отсутствии ГУП:
, (36)
или
и .
Здесь показывает, во сколько раз увеличивается дисперсия шумовой функции (15) вследствие воздействия ГУП. Обозначим:
, (37)
соответственно параметр (28) можно переписать
.
При отсутствии ГУП величина (30) запишется как:
,
где
- приведенная площадь области возможных значений времени прихода и периода повторения в отсутствии ГУП. Очевидно,
,
то есть коэффициенты и определяют влияние ГУП на вероятность ложной тревоги. Вследствие воздействия ГУП дисперсия шумовой функции (24) возрастает пропорционально . Параметр (34), определяющий согласно (30) приведенную площадь априорной области возможных значений времени прихода и периода следования последовательности (1), вследствие воздействия ГУП возрастает пропорционально и убывает обратно пропорционально .
Анализ полученных значений вероятности ложной тревоги для различных условий обнаружения несколько упрощается, если вероятность ложной тревоги достаточно мала, например, . В этом случае (24) и (28) можно представить в виде:
(38)
-вероятность ложной тревоги при воздействии ГУП и ГБШ,
(39)
-вероятность ложной тревоги при воздействии только ГБШ.
Параметр, определяющий увеличение вероятности ложной тревоги вследствие воздействия ГУП, согласно (38), (39), запишется как:
. (40)
Найдем теперь вероятность пропуска сигнала . Положим, что сигнал присутствует на входе приемника. Тогда, в соответствии с определением [8]:
, , .
Подставим реализацию наблюдаемых данных в случае наличия сигнала (2) в выражение для функции (6). Запишем (6) в виде суммы сигнальной и шумовой функции
.
Здесь
- сигнальная функция, а шумовая функция определяется из (15). Положим, что функция
обладает лишь одним существенным максимумом в априорной области возможных значений и , то есть