Материал: Добрецов Сборник лабораторных работ по ядерной физике Ч.3 2013

Рассмотрим случай измерения интенсивности при наличии фона. Если измеряемый эффект определяется по формуле (П.2.6), а его дисперсия по формуле

D = σ2A = σ2 + σф2 = n / t + nф / tф ,

то соотношение между временами двух измерений t и tф, обеспечивающее наименьшую относительную погрешность величины А при заданном полном времени Т = t + tф, находится из условия

∂D / ∂tф = 0 :

D = n /(T − tф) + nф / tф,

(T − tф) / tф = t / tф = n / nф .

Таким образом, для измерения меньшей интенсивности нужно затратить меньше времени, чем для измерений большей интенсивности. Физически это понятно: если одна из интенсивностей мала, то и связанные с ней флуктуации малы по абсолютной величине; поэтому с ними можно считаться меньше, выгоднее потратить основную часть времени на измерение большей интенсивности.

Условие (П.2.8) определяет также наименьшее Т, необходимое для получения заданной относительной погрешности δ = σn/n. В том случае, когда фон точно известен, время, необходимое для измерения интенсивности с заданной степенью точности, определяется соотношением

Часто ставится задача определения отношения двух интенсив-

ностей Y = (N1/t1)/(N2/t2) = n1/n2, измеренных за время t1 и t2 соответственно. Квадрат относительной погрешности равен сумме

квадратов относительных погрешностей делимого и делителя:

Так как погрешность скорости счета σn = N / t , то

δ2 =1/ n1t1 +1/ n2t2 .

120

Если фиксировано полное время измерения Т = t1 + t2, то оптимальная точность получится при минимальном δ2 = 1/n1 t1 + + 1/n2 (T – t1):

t1 / t2 = n2 / n1 .

Таким образом, при определении отношения двух интенсивностей меньшую интенсивность следует измерять в течение большего времени, в противоположность случаю разностного опыта.

П.2.5. Метод наименьших квадратов

Целью эксперимента может быть изучение функциональной зависимости измеряемых на опыте параметров. Сама функция известна априори (например, закон радиоактивного распада) или получена из разрабатываемой гипотезы. При обработке экспериментального материала задача исследователя – разработка (или использование известной) методики определения таких параметров, входящих в предложенную функцию, при которых значения функции наилучшим образом соответствовали бы всей совокупности экспериментально измеренных значений исследуемой зависимости. Одним из наиболее мощных, а потому и наиболее часто употребляемых методов, является метод наименьших квадратов, кратко – МНК.

Обозначим через F(aj, х) функцию, которая должна быть сопоставлена с экспериментальным массивом данных Yi = Y(хi), где хi – параметр (или набор параметров), в зависимости от которого был

получен набор {Yi}. Задача сводится к нахождению таких a*j , ко-

торые наилучшим образом соответствуют экспериментальным данным. В случае, когда Yi распределены нормально со стандартным отклонением σi, эта задача решается методом наименьших квадратов.

Если F(aj, х) = Fi есть ожидаемое значение Yi, то вероятность получения Yi

121

Вероятность полного набора {Yi} по k экспериментальным точкам хi, (1 ≤ i ≤ k) определяется выражением

L(a*j )= ∏k ϕ(Yi ).

i=1

Функция L(a) носит название функции правдоподобия. Отыскание наилучших a*j сводится к нахождению максимума величины

L(aj). Практически задача решается следующим образом. Прологарифмируем L(aj):

Очевидно, что L(aj) имеет максимум, когда S минимальна. Вели-

чина S называется суммой наименьших квадратов, если выполнено условие

Система уравнений (П.2.10) является исходной для вычисления коэффициентов a*j . Для определения погрешностей σa*j восполь-

Второй член в (П.2.11) равен нулю по условию (П.2.10). Из (П.2.11) получаем

Здесь H n−1 – элемент матрицы ошибок, которая определяется как

обратная матрице H (П.2.12).

В случае нелинейной зависимости F(aj, х) от аj нахождение аj и σj аналитически невозможно, и поэтому применяются численные методы с применением ЭВМ.

Рассмотрим случай линейной зависимости F(aj, х) от аj, который часто встречается в лабораторном практикуме:

M

F(a j , x) = ∑a f (x) .

=1

Используя соотношения (П.2.10) и (П.2.12), имеем

В общем случае удобнее записать систему М уравнений в матричной форме:

Критерием соответствия используемой функции F(аj, х) экспериментальным данным является величина S(a j ) = S (a*j ). Если Yi

нормально распределены, то S описывается χ2-распределением с k – М – 1 = Р числом степеней свободы (здесь, как и раньше, k – число измеренных точек, М – число искомых параметров). Ожи-

даемое значение Sож = χож2 = P . Дисперсия D(χ2) = 2P. Уровень соответствия выбранной функции F(аj, х) экспериментальным данным определяется по таблице вероятности получения χ2 больше данного при Р степенях свободы. При Р ≥ 30 распределение χ2 пе-

реходит в нормальное с σ = 2P . Сильное (например, за ±4σ, что соответствует вероятности реализации менее 10–4) отклонение χ2 от ожидаемого не должно без дополнительного анализа служить основанием к отказу от проверяемой гипотезы Y(х) = F(аj, х). Причинами такого отклонения могут быть:

при χ2эксп < P − 4σ – неправильные (завышенные) погрешности, приписываемые измеренным Yi;

при χ2эксп > P + 4σ :

а) та же причина, что и в первом случае, но σi занижены,

124