Материал: Добрецов Сборник лабораторных работ по ядерной физике Ч.3 2013

110

111

Приложение 2

СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ

Одна из главных задач при планировании эксперимента и выполнении каких-либо измерений – это оценка точности и надежности результатов. Часто именно повышение точности измерений позволяет вскрыть новые, не известные ранее закономерности. Точность определяется систематическими (методическими) и случайными (статистическими) погрешностями.

При измерении макроскопических величин основную роль играют, как правило, методические погрешности, связанные с характеристиками измерительной аппаратуры. В ядерной физике и физике элементарных частиц результаты измерений по своей природе представляют собой случайные величины, следствием чего многократные измерения одной и той же величины при одинаковых условиях дают несовпадающие результаты. Наиболее характерными законами распределений здесь становятся законы Пуассона и Гаусса, а иногда – биномиальный закон. По этой причине роль статистического подхода в микрофизике значительно глубже, чем в макрофизике. Статистические методы здесь нужны не только для обработки результатов измерений, но и для изучения самой природы явлений. Именно на этом этапе полезная информация извлекается из экспериментальных данных.

П.2.1. Статистические распределения

Распределение Гаусса. Закон Гаусса (нормальное распределение) играет фундаментальную роль в построении общей математической теории вероятностей. Он применим, когда изучаемый эффект обусловлен множеством малых независимых вкладов, носящих случайный характер. Закон Гаусса является предельным для многих статистических законов. Параметры распределения Гаусса

– среднее значение величины a и среднее квадратичное отклонение

σ.

Распределение Гаусса имеет вид

112

Функция ϕ(x) симметрична относительно x = а, поэтому x = а. Функция ϕ(x) представляет собой плотность вероятности, она

+∞

нормирована, т.е. ∫ϕ(x)dx =1 . Дисперсией D распределения на-

−∞

зывается среднее значение квадрата отклонений от среднего значения. Она определяется из соотношения

+∞

D = (x − a)2 = ∫(x − a)2 ϕ(x)dx = σ2 .

−∞

Примерами применимости закона Гаусса из области ядерной физики являются отклонения из-за многократного рассеяния частиц высокой энергии и разброс пробегов заряженных частиц в веществе (straggling). Вероятность того, что пробег частиц заключен между R и R + dR, равна

где R0 – среднее значение пробега.

Распределение проекций угла многократного рассеяния имеет вид

Распределение Пуассона, в отличие от закона Гаусса, является дискретным. Оно применимо, когда интересующая случайная величина может принимать только целые положительные значения, и события, относящиеся к неперекрывающимся интервалам, статистически независимы. Закон Пуассона описывает распределение вероятностей редких событий.

113

Распределение Пуассона полностью определяется заданием только одного параметра – среднего числа актов N0. Вероятность наблюдения N актов имеет следующий вид:

персия для закона Пуассона равна N0. Положительное значение квадратного корня из дисперсии называется средним квадратичным отклонением случайной величины. Для статистических явлений, подчиняющихся закону Пуассона, среднее квадратичное от-

клонение σ = N0 . Это означает, что результаты отдельных изме-

рений с вероятностью, близкой к 2/3, попадут в пределы N ± N0 .

Приведем некоторые примеры применимости закона Пуассона в ядерной физике.

Вероятность заряженной частице образовать N пар ионов при среднем N0 описывается формулой (П.2.2).

Вероятность потерять N событий, случайно распределенных во времени, если мертвое время прибора равно t:

Здесь n – средняя скорость счета.

Вероятность N соударений на пути L, если λ – средняя длина свободного пробега:

P(N, L) = (L / λ) N exp(−L / λ) .

N!

Вероятность попадания N частиц на поверхность s за время t:

P(N, s,t) = (n s t) N exp(−n s t) ,

N!

где n – плотность потока частиц.

С ростом N0 распределение Пуассона становится все более симметричным относительно N = N0 и переходит в закон Гаусса.

114