Курсовая работа: Дискретизация исходного сигнала с последующим восстановлением

Введение

Данная курсовая работа направлена на выполнение дискретизации исходного сигнала с последующим восстановление, причём погрешность восстановления фиксирована и не должна превышать заданную величину. Для выполнения поставленной задачи нами будут проведены следующие этапы работы: предварительный выбор частоты дискретизации и частоты среза; исследования спектральных характеристик исходного сигнала, дискретизированного и восстановленного с выбранными частотами; определение погрешности восстановления; подбор оптимальных частот, обеспечивающих заданную погрешность восстановление; проверка выполненной работы с помощью имитационного моделирования.

В конце проделанной работы преподавателем будет предложена тема самостоятельного дополнительного исследования, которая позволит окончательно закрепить все полученные в ходе курсовой работы знания.

сигнал частота фильтр

Спектральный анализ дискретизируемого сигнала. Предварительный выбор частоты дискретизации

Для выполнения курсовой работы необходимо построить непрерывный сигнал S(t), заданный индивидуальным номером варианта (Вариант 51083).

На рисунке 1 представлен исходный непрерывный сигнал.

Рисунок 1 - Исходный непрерывный сигнал

Удобнее всего, данный сигнал представить в виде комплексной спектральной мощности для простоты использования. Формула спектральной плотности мощности выглядит следующим образом:

Более простым методом расчета спектральной плотности мощности является представление её в виде отдельных слагаемых. Тогда расчет спектральной плотности мощности будет иметь следующий вид:

Исходя из полученного выражения комплексной спектральной плотности, рассчитаем её модуль и аргумент, для того, чтобы получить выражения для расчета спектральной плотности амплитуд и спектра фаз:

Построим графики спектральной плотности амплитуд и спектра фаз, пользуясь рассчитанными выражениями.

Рисунок 2 - График спектральной плотности амплитуд

Рисунок 3 - График спектра фаз

Из теоремы Котельникова, о дискретизации сигнала, известно, что частота дискретизации F непрерывного сигналаS(t)со спектром, ограниченным частотой Fmдолжна соответствовать неравенству:

В качестве наивысшей частоты спектра, оптимально использовать верхнюю граничную частоту практической ширины спектра сигнала.

На основе энергетического критерия можно оценить практическую ширину спектра сигнала, откуда верхняя граничная частота практической ширины спектра может быть найдена с помощью нелинейного уравнения полученного на основе равенства Парсеваля и выглядит следующим образом:

Величина в данном выражении являетсяпредполагаемой долей энергии сигнала, которая сосредоточена в пределах практической ширины спектра, а величина соответствует полной энергии, которую можно рассчитать по следующей формуле:

при условии, что а .

Отсюда следует, что график зависимости верхней граничной частоты сигнала от доли энергии сигнала будет иметь следующий вид:

Рисунок 4 - Зависимость верхней граничной частоты от доли полной энергии сигнала

По полученному графику можно определить, что при заданной доле полной энергии сигнала, верхняя граничная частота В качестве предварительного значения наивысшей частоты спектра исходного сигнала, следует взять значение округленное в большую сторону, то есть. Отсюда следует, что предварительная величина частоты дискретизации

Расчет характеристик сигнала на выходе дискретизатора. Предварительный выбор полосы пропускания восстанавливающего фильтра

Для получения дискретизированного сигнала , необходимо исходный непрерывный сигналпредставить в виде последовательности отсчетных импульсов. Амплитудные значения таких отсчетов будут равны мгновенным значениям исходного сигнала в моменты времени Где -интервал дискретизации. Тогда дискретизированный сигнал будет рассчитываться по следующей формуле:

Поскольку, непрерывный исходный сигнал обладает конечно длительностьюTs, следовательно число Nненулевых отсчетных импульсов дискретизированного сигнала будет являться конечно величиной и рассчитываться по формуле:

На приведенном ниже рисунке 5 представлены графики исходного и дискретизированного сигналов.

Рисунок 5 - График исходного сигнала (штриховая линия) и дискретизированного сигнала (сплошная линия)

Определим комплексную спектральную плотностьпо следующей формуле:

На рисунке 6 представлен график спектральной плотности амплитуд дискретизированного и исходного сигналов.

Рисунок 6 - Графики спектральной плотности амплитуд дискретизированного (сплошная линия) и непрерывного (штриховая линия) сигналов

На рисунке 7 представлен график спектра фаз дискретизированного и исходного сигналов.

Рисунок 7 - График спектра фаз дискретизированного (сплошная линия) и исходного (точки) сигналов

Как видно из представленных выше графиков, спектр фаз дискретизированного и исходного сигналов ничем не отличаются друг от друга. Спектральная плотность амплитуд дискретизированного и исходного сигналов, незначительно отличаются на низких частотах и имеют большую разницу на более высоких частотах.

Анализ частотных и временных характеристик восстанавливающего фильтра нижних частот

Исходя из заданного варианта задания, для восстановления сигнала по его дискретным отсчетам, нам потребуется использовать полиномиальный фильтр нижних частот второго порядка с заданной аппроксимацией его амплитудно-частотной характеристики по Чебышеву.

Исходные данные:

тип фильтра нижних частот по аппроксимации амплитудно-частотной характеристики - фильтр Чебышева с неравномерностью амплитудно-частотной характеристики 0.2 дБ;

порядок фильтра нижних частот - n=2;

нормированные полюсы передаточной функции фильтра нижних частот - ;

коэффициент обеспечивающий при единичную передачу на нулевой частоте;

коэффициент усиления фильтра на нулевой частоте

Частота среза фильтра -

Операторный коэффициент передачи полиномиального фильтра нижних частот будет рассчитываться следующим образом:

где

Подставив в операторный коэффициент передачи наши исходные данные, получим комплексный коэффициент передачи фильтра.

Рассчитаем амплитудно-частотную и фаза-частотную характеристики при помощи рассчитанного комплексного коэффициента передачи.

По составленным выражения построим графики амплитудно-частотной и фаза-частотной характеристик.

Рисунок 8 - График амплитудно-частотной характеристики фильтра нижних частот

Рисунок 9 - График фаза-частотной характеристики фильтра нижних частот

Проводя анализ полученных графиков амплитудно-частотной и фаза-частотной характеристик, отметим, что данные характеристики достаточно сильно отличаются от характеристик идеального фильтра нижних частот, что заметно скажется на искажении формы восстанавливаемого сигнала.

Проведем графическую оценку влияния частоты среза фильтра на качество восстановления сигнала. Для этого рассмотрим график представленный на рисунке 10.

Рисунок 10 - График спектральной плотности амплитуд дискретизированного (сплошная линия) и исходного (пунктирная линия) сигналов, и амплитудно-частотная характеристика фильтра (пунктирная линия)

Как видно из графика, частота среза фильтра принимает слишком большое значение, так как при восстановлении сигнала будут задеты соседние копии дискретизированного сигнала, что увеличит ошибку восстановления исходного непрерывного сигнала.

Определим время задержки отклика заданного фильтра на входное гармоническое воздействие с частотой с помощью следующей формулы:

С помощью формулы построим график зависимости времени задержки отклика от частоты.

Рисунок 11 - График зависимости времени задержки отклика фильтра от частоты

Для расчета импульсной характеристики фильтра воспользуемся обратным преобразованием Лапласа от передаточной функции Тогда формула для расчета импульсной характеристики будет иметь следующий вид:

Подставив все исходные значения в формулу, её решение будет иметь следующий вид:

Тогда график импульсной характеристики будет иметь следующую форму:

Рисунок 12 - График импульсной характеристики фильтра

Расчет сигнала, восстановленного по дискретным отсчетам заданным фильтром нижних частот, и относительной погрешности восстановления

Восстановленный непрерывный сигнал с выхода фильтра нижних частот с импульсной характеристикой и при действующем на входе фильтра идеального дискретизированного сигнала будет рассчитываться по формуле:

где k - является номером отсчета мгновенного значения непрерывного сигнала.

На рисунке 13 представлен график восстановленного и исходного сигналов.

Рисунок 13 - График восстановленного (сплошная линия) и исходного (штриховая линия) непрерывных сигналов

Из рисунка 13 можно сделать вывод о том, что форма сигнала достаточно сильно искажена. Это говорит нам о том, что для качественного восстановления необходимо большее число отсчетов, а так же следует уменьшить значение частоты среза, так как именно она вносит помехи от соседних копий сигнала.

Для оценки качества расчетов необходимо определить относительную погрешность восстановления сигнала нашим фильтром. Для этого воспользуемся следующей формулой:

Полученная погрешность достаточно далека от заданной погрешности, установленной индивидуальным вариантом. На основании этого, необходимо провести исследование зависимости погрешности восстановления от частоты дискретизации и частоты среза фильтра. В ходе исследования необходимо выявить оптимальные значения частоты среза и частоты дискретизации.

Исследование влияния на погрешность восстановления сигнала частоты его дискретизации и частоты среза фильтра нижних частот. Обоснование и выбор оптимальных значений частот, обеспечивающих качество восстановления не хуже заданного

Выявим зависимость погрешности восстановления сигнала от частоты дискретизации и частоты среза фильтра нижних частот. Для этого построим графики исходя из уравнения погрешности восстановления, при условии, что одна из искомых величин является переменным значением, а другая постоянна, а затем наоборот.

Рисунок 14 - График зависимости погрешности восстановления сигнала от частоты дискретизации при фиксированной частоте среза

По данному графику можно сказать, что при частоте среза и частоте дискретизации достигается заданный порог погрешности восстановления.

Рисунок 15 - График зависимости погрешности восстановления сигнала от изменения частоты среза фильтра, при фиксированном значении частоты дискретизации

Из полученного графика следует, что при частоте дискретизации, оптимальной частотой среза является

Таким образом, наиболее оптимальными значениями, обеспечивающие необходимую погрешность восстановления, являются и . Погрешность восстановления при таких значения

Представим в виде таблицы значения погрешности восстановления сигнала от значений частоты среза и частоты дискретизации (таблица 1)

Таблица 1 - Зависимость погрешности восстановления от частоты среза

Расчет характеристик дискретизированного и восстановленного сигналов при оптимальных значениях частоты дискретизации и полосы пропускания фильтра нижних частот. Сравнительный анализ качества восстановления сигнала заданным реальным фильтром и идеальным фильтром нижних частот

По новым оптимальным значениям, для частоты среза и частоты дискретизации, построим графики временных и частотных зависимостей, для дискретизированного и восстановленного сигналов.

Рисунок 16 - График дискретизированного (сплошная линия) и исходного (штриховая линия) сигналов

Из графика видно, что увеличение частоты дискретизации приводит к увеличивается числа отсчетных импульсов.

Рисунок 17 - График спектральной плотности исходного (штриховая линия) и дискретизированного (сплошная линия) сигналов

Рисунок 18 - График спектра фаз исходного(точки) и дискретизированного (сплошная линия) сигналов

Как видно из рисунка 17, спектральная плотность исходного сигнала и дискретизированного на низких частотах, практический, имеет одинаковые значения. А из рисунка 18 видно, что спектр фаз по-прежнему совпадает.

Рисунок 19 - График исходного (штриховая линия) и восстановленного (сплошная линия) сигналов