Материал: Prak_alg
11
Пересечением
семейства
множеств
(
)
I
A
Î
i
i
называется
множество
{
}
j
i
i
x
j
x
A
I
A
I
Î
Î
"
=
Î
:
I
.
Найдите
[
]
U
N
Î
-
n
n
n
, .
11.
Пусть
{
}
a
a
>
Î
=
x
R
x
:
C
.
Найдите
U
I
N
N
C
C
Î
Î
a
a
a
a
,
.
12.
Приведите
пример
:
1)
последовательности
непустых
множеств
,...,
,...,
,
2
1
n
C
C
C
такой
,
что
...
2
1
É
É
C
C
и
I
N
C
Î
Æ
=
n
n
;
2)
последовательности
множеств
,
отличных
от
универсального
мно
-
жества
L
,
такой
,
что
...
2
1
Ì
Ì
C
C
и
L
C
N
=
Î
U
n
n
;
3)
семейства
множеств
такого
,
что
пересечение
любого
конечного
числа
множеств
из
этого
семейства
непусто
,
а
пересечение
всех
множеств
пусто
.
1.2
Прямое
произведение
множеств
.
Бинарные
отношения
Произведением
(
или
декартовым
произведением
)
2
1
C
C
´
двух
не
-
пустых
множеств
1
C
и
2
C
будем
называть
множество
упорядоченных
пар
(
)
2
1
x
x
,
,
где
2
2
1
1
C
C
Î
Î
x
x
,
.
Это
понятие
выросло
из
понятия
де
-
картовой
системы
координат
.
Данное
понятие
можно
обобщить
и
на
слу
-
чай
n
множеств
.
Если
n
C
C
C
,...,
,
2
1
–
n
непустых
множеств
,
то
их
произ
-
ведение
состоит
из
всевозможных
упорядоченных
наборов
(
)
n
x
x
x
,...,
,
2
1
,
n
k
x
k
k
,...,
,
1
=
Î
C
элементов
этих
множеств
.
Если
множества
C
C
C
C
=
=
=
=
n
...
2
1
,
то
их
произведение
1
2
n
C ´ C ´ ...´ C
обознача
-
ется
n
C
.
Так
,
символом
n
R
обозначается
множество
упорядоченных
век
-
торов
n
вещественных
чисел
.
Любое
подмножество
из
произведения
U
C
´
называется
бинарным
отношением
.
Если
U
C
=
,
то
бинарное
отношение
называется
бинарным
отношением
на
множестве
C
.
Бинарные
отношения
обозначаются
буква
-
ми
,...
,
,
f
r
f
Если
пара
( )
y
x
,
принадлежит
бинарному
отношению
r
,
то
пишут
( )
r
Î
y
x
,
или
y
x
r
.
Для
задания
бинарного
отношения
r
используют
те
же
методы
,
что
и
для
произвольных
множеств
,
кроме
того
,
бинарное
отношение
,
заданное
на
конечном
множестве
C
,
можно
задать
в
виде
графа
,
а
бинарное
отно
-
шение
на
множестве
R
можно
задать
в
виде
декартовой
диаграммы
.
Под
12
графом
бинарного
отношения
мы
понимаем
схему
,
в
которой
элементы
множества
C
изображаются
точками
на
плоскости
,
элементы
C
Î
y
x
,
,
такие
,
что
пара
( )
r
Î
y
x
,
соединяются
стрелкой
,
направленной
от
x
к
y
,
пары
( )
r
Î
x
x
,
изображаются
петлей
вокруг
точки
x
.
Под
декартовой
диа
-
граммой
понимают
изображение
пар
( )
r
Î
y
x
,
в
декартовой
прямоуголь
-
ной
системе
координат
.
Областью
определения
бинарного
отношения
r
называется
множество
( )
{
}
r
r
Î
$
Î
=
y
x
y
x
D
,
:
C
.
Областью
значений
бинарного
отношения
r
называется
множество
( )
{
}
r
r
Î
$
Î
=
y
x
x
y
R
,
:
U
.
Бинарное
отношение
r
на
множестве
C
называется
рефлексивным
,
если
для
любого
C
Î
x
пара
( )
r
Î
x
x
,
.
Если
C
–
конечное
множество
,
то
рефлексивность
бинарного
отношения
r
означает
,
что
на
графе
данного
бинарного
отношения
вокруг
каждой
точки
x
из
C
есть
петля
.
Если
R
=
C
,
то
рефлексивность
бинарного
отношения
r
с
точки
зрения
декар
-
товой
диаграммы
означает
,
что
в
число
изображенных
точек
войдут
все
точки
прямой
x
x
y
=
)
(
.
Бинарное
отношение
r
на
множестве
C
называется
симметричным
,
если
для
любых
C
Î
y
x
,
из
принадлежности
пары
( )
y
x
,
отношению
r
следует
принадлежность
этому
отношению
также
пары
( )
x
y
,
.
Если
C
–
конечное
множество
,
то
симметричность
бинарного
отношения
r
означа
-
ет
,
что
на
графе
данного
бинарного
отношения
все
присутствующие
стрел
-
ки
двусторонние
.
Если
R
=
C
,
то
симметричность
бинарного
отношения
r
с
точки
зрения
декартовой
диаграммы
означает
,
что
изображенное
мно
-
жество
симметрично
относительно
прямой
x
x
y
=
)
(
.
Бинарное
отношение
r
на
множестве
C
называется
антисиммет
-
ричным
,
если
для
любых
C
Î
y
x
,
из
принадлежности
пар
( )
y
x
,
и
( )
x
y
,
от
-
ношению
r
следует
y
x
=
.
Если
C
–
конечное
множество
,
то
антисим
-
метричность
бинарного
отношения
r
означает
,
что
на
графе
данного
би
-
нарного
отношения
все
присутствующие
стрелки
односторонние
.
Бинарное
отношение
r
на
множестве
C
называется
транзитивным
,
если
для
любых
C
Î
z
y
x
,
,
из
принадлежности
пар
( )
y
x
,
и
( )
z
y
,
отноше
-
нию
r
следует
принадлежность
этому
отношению
также
пары
( )
z
x
, .
Обратным
отношением
для
r
называется
отношение
( ) ( )
{
}
r
r
Î
=
-
x
y
y
x
,
:
,
1
.
Композицией
отношений
1
r
и
2
r
называется
отношение
( )
( )
( )
{
}
2
1
1
2
r
r
r
r
Î
Î
$
=
y
z
z
x
z
y
x
,
,
,
:
,
o
.
13
Для
любых
бинарных
отношений
выполняются
следующие
свойства
:
1.
( )
r
r
=
-
-
1
1
;
2.
(
)
1
2
1
1
1
1
2
-
-
-
=
r
r
r
r
o
o
.
Пример
1
.
Перечислите
элементы
множеств
A
B
B
A
´
´
,
:
1)
{ }
{
}
5
,
4
,
3
,
2
,
1
=
=
B
A
;
2)
{
}
4
,
3
,
2
,
1
,
=
Æ
=
B
A
.
Решение
.
По
определению
( )
{
}
B
A
B
A
Î
Î
=
´
b
a
b
a
,
:
,
.
Порядок
построения
данного
множества
будет
следующий
:
вначале
перечислим
все
пары
,
первый
элемент
которых
равен
первому
элементу
множества
A
,
а
второй
элемент
берется
из
множества
B
в
том
порядке
,
в
котором
они
записаны
в
множестве
B
,
затем
аналогично
берем
второй
элемент
из
A
и
составляем
пары
со
всеми
элементами
из
B
и
т
.
д
.
Аналогичен
и
метод
построения
множества
( )
{
}
A
B
A
B
Î
Î
=
´
a
b
a
b
,
:
,
.
1)
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
þ
ý
ü
î
í
ì
=
´
5
,
2
,
4
,
2
,
3
,
2
,
5
,
1
,
4
,
1
,
3
,
1
B
A
,
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
ï
þ
ï
ý
ü
ï
î
ï
í
ì
=
´
2
,
5
,
1
,
5
,
2
,
4
,
1
,
4
,
2
,
3
,
1
,
3
A
B
.
3)
Æ
=
´
=
´
A
B
B
A
,
поскольку
множество
A
пусто
и
мы
не
можем
составить
ни
одной
пары
.
Пример
2
.
Пусть
{ }
4
,
3
=
A
.
Перечислите
элементы
множеств
4
A
.
Решение
.
По
определению
(
)
{
}
A
A
A
A
A
Î
Î
Î
Î
=
4
3
2
1
4
3
2
1
4
,
,
,
:
,
,
,
a
a
a
a
a
a
a
a
=
=
(
) (
) (
) (
)
(
) (
) (
) (
)
(
) (
) (
) (
)
(
) (
) (
) (
)
ï
ï
þ
ïï
ý
ü
ï
ï
î
ïï
í
ì
4
,
4
,
4
,
4
,
3
,
4
,
4
,
4
,
4
,
3
,
4
,
4
,
3
,
3
,
4
,
4
,
4
,
4
,
3
,
4
,
3
,
4
,
3
,
4
,
4
,
3
,
3
,
4
,
3
,
3
,
3
,
4
,
4
,
4
,
4
,
3
,
3
,
4
,
4
,
3
,
4
,
3
,
4
,
3
,
3
,
3
,
4
,
3
,
4
,
4
,
3
,
3
,
3
,
4
,
3
,
3
,
4
,
3
,
3
,
3
,
3
,
3
,
3
,
3
.
Пример
3
.
Пусть
на
плоскости
задана
декартова
система
координат
.
Изобразите
на
плоскости
следующее
множество
:
[ ] [ ]
d
c
b
a
,
,
´
=
M
,
где
d
c
b
a
R
d
c
b
a
<
<
Î
,
,
,
,
.
Решение
.
При
построении
прямого
произведения
[ ] [ ]
d
c
b
a
,
,
´
=
M
каждой
точке
x
из
отрезка
[ ]
b
a
,
ставятся
пары
( )
[ ]
d
c
y
y
x
,
,
,
Î
,
поэтому
в
результате
получим
множество
14
Пример
4
.
Докажите
следующее
равенство
:
(
) (
) (
) (
)
M
B
K
A
M
K
B
A
´
Ç
´
=
Ç
´
Ç
.
Решение
.
Равенство
двух
множеств
мы
докажем
с
помощью
двух
включений
,
объединив
их
одной
записью
.
Заметим
,
что
элементами
мно
-
жеств
в
данном
случае
являются
упорядоченные
пары
точек
.
Итак
,
пусть
( ) (
) (
)
(
)
(
)
Û
Ç
Î
Ç
Î
Û
Ç
´
Ç
Î
M
K
B
A
M
K
B
A
y
x
y
x
,
,
Û
Î
Î
Î
Î
Û
Î
Î
Î
Î
Û
M
B
K
A
M
K
B
A
y
x
y
x
y
y
x
x
,
,
,
,
,
,
( )
( )
( ) (
) (
)
M
B
K
A
M
B
K
A
´
Ç
´
Î
Û
´
Î
´
Î
Û
y
x
y
x
y
x
,
,
,
,
.
Пример
5.
Докажите
,
что
для
любых
непустых
множеств
K
B
A
,
,
из
равенства
(
) (
)
K
K
A
B
B
A
´
=
´
È
´
следует
,
что
.
A = B = K
Решение
.
Для
доказательства
данного
утверждения
установим
два
равенства
K
A
=
и
K
B
=
.
Для
произвольных
A
Î
x
и
B
Î
y
( )
( )
K
B
K
A
K
K
K
K
B
A
Í
Í
Þ
Î
Î
Þ
´
Î
Þ
´
Î
,
,
,
,
y
x
y
x
y
x
.
С
другой
стороны
,
для
произвольного
K
Î
x
( )
( )
B
A
K
K
´
Î
Þ
´
Î
x
x
x
x
,
,
или
( )
Þ
´
Î
A
B
x
x
,
A
Î
Þ
x
и
A
K
B
Í
Þ
Î
x
и
B
K
Í
.
Таким
образом
,
K
B
A
=
=
.
Пример
6
.
На
множестве
{
}
15
,
14
,
13
,
12
,
11
,
10
,
9
,
8
,
7
,
6
,
5
=
A
задано
би
-
нарное
отношение
( )
{
}
y
на
делится
x
y
x
:
,
=
r
.
Нарисуйте
граф
данного
бинарного
отношения
.
Решение
.
Расположим
на
плоскости
точки
множества
A
.
Точки
A
Î
y
x
,
,
для
которых
пара
( )
r
Î
y
x
,
,
соединим
стрелкой
,
направленной
от
a
b
d
c
x
y
M
15
x
к
y
.
Пары
( )
r
Î
x
x
,
изобразим
петлей
вокруг
точки
x
.
Результатом
та
-
кого
построения
будет
граф
5
6
7
8
9
14
13
12
11
10
Пример
7
.
Для
следующего
бинарного
отношения
,
определенного
на
множестве
R
,
найдите
область
определения
,
область
значений
и
нарисуйте
декартову
диаграмму
( )
{
}
y
x
y
x
=
=
2
:
,
r
.
Решение
.
В
соответствии
с
определением
( )
{
}
R
y
x
y
R
x
D
=
Î
$
Î
=
r
r
,
:
.
( )
{
}
:
,
0.
R
y
x
x y
R
r
r
+
=
ÎU $
Î
=
È
Декартова
диаграмма
для
данного
бинарного
отношения
имеет
вид
Пример
8
.
Для
каждого
из
следующих
бинарных
отношений
выясни
-
те
,
какими
свойствами
(
рефлексивность
,
симметричность
,
антисимметрич
-
ность
,
транзитивность
)
оно
обладает
и
какими
не
обладает
.
1)
( )
( ) ( ) ( ) ( )
{
}
3
,
3
,
2
,
3
,
3
,
1
,
1
,
1
),
1
,
2
(
,
2
,
1
=
r
на
множестве
{
}
3
,
2
,
1
=
C
;
2)
( )
{
}
Z
Î
-
=
y
x
y
x
:
,
r
на
множестве
R
=
C
;
3)
( )
{
}
y
x
y
x
3
2
:
,
=
=
r
на
множестве
Z
C
=
;
4)
( )
{
}
y
x
y
x
Í
=
:
,
r
на
множестве
( )
Z
R
C
=
.
Решение
.
1)
Данное
отношение
не
является
рефлексивным
,
поскольку
для
точ
-
ки
C
Î
2
пара
( )
r
Ï
2
,
2
;
не
является
симметричным
,
поскольку
,
например
,
y
x