Материал: Prak_alg
46
идущих
единиц
(
так
как
нельзя
по
условию
брать
две
рядом
стоящие
кни
-
ги
).
Имеем
неупорядоченную
5-
выборку
из
8 (
см
.
пример
18).
Следова
-
тельно
,
всего
будет
5
8
C
= 56 (
способов
).
Пример
20.
Найти
число
способов
разбиения
n
одинаковых
предме
-
тов
по
m
урнам
.
Решение
.
Перенумеруем
урны
,
расположив
их
в
ряд
.
Между
ними
будет
(m – 1)
промежуток
.
Поставим
в
соответствие
каждому
разбиению
предметов
по
урнам
последовательность
из
нулей
и
единиц
следующим
образом
:
сначала
последовательность
имеет
группу
из
нулей
,
число
кото
-
рых
равно
числу
предметов
в
первой
урне
,
затем
ставим
1 (
перегородку
);
далее
–
столько
нулей
,
сколько
предметов
во
второй
урне
и
опять
ставим
1;
затем
столько
нулей
,
сколько
в
третьей
урне
и
т
.
д
.
Заканчивается
последо
-
вательность
группой
нулей
;
их
столько
,
сколько
предметов
в
последней
урне
.
Следовательно
,
в
последовательности
будет
n
нулей
и
(m – 1)
единиц
,
всего
(n + m – 1)
цифр
.
Тогда
всего
способов
разбиения
будет
равно
1
1
m
n m
C
-
+ -
.
Заметим
,
что
1
1
m
n m
C
-
+ -
=
n
m
H
(
уметь
доказать
).
Пример
21.
Комиссия
состоит
из
9
человек
.
Документы
хранятся
в
сейфе
.
Сколько
замков
должен
иметь
сейф
,
сколько
ключей
для
них
нужно
изготовить
и
как
их
распределить
между
членами
комиссии
,
чтобы
доступ
к
сейфу
был
возможен
тогда
и
только
тогда
,
когда
соберутся
вместе
не
ме
-
нее
6
человек
комиссии
?
Решение
.
Какие
бы
5
членов
комиссии
не
собрались
,
должен
найтись
замок
,
который
они
не
могут
открыть
,
но
ключ
от
этого
замка
имеется
у
каждого
из
4
остальных
членов
комиссии
(
появление
кого
-
нибудь
из
кото
-
рых
даёт
возможность
открыть
сейф
).
Следовательно
,
число
замков
равно
5
9
C
=126;
число
ключей
равно
5
9
C
´
4 = 504.
Замечание
.
В
общем
случае
число
замков
равно
1
m
n
C
-
;
число
клю
-
чей
к
этим
замкам
равно
(n – m + 1)
1
m
n
C
-
,
где
n –
число
членов
комис
-
сии
, m –
наименьшее
число
членов
,
при
которых
возможен
доступ
к
сейфу
,
при
условии
m
£
n + 1.
Пример
22.
Сколькими
способами
можно
расставить
в
шеренгу
5
львов
и
4
тигра
так
,
чтобы
никакие
два
тигра
не
шли
друг
за
другом
?
Решение
.
Расставим
сначала
всех
львов
,
оставив
между
каждыми
двумя
львами
промежуток
.
Это
можно
сделать
P
5
способами
.
Теперь
для
расстановки
тигров
имеется
6
мест
(
либо
одно
впереди
всех
львов
,
либо
47
одно
после
них
,
либо
между
ними
–
четыре
).
Так
как
порядок
тигров
суще
-
ственен
(
все
тигры
разные
),
то
число
способов
их
расстановки
равно
4
6
A
.
Общее
число
способов
расстановки
хищников
получим
по
правилу
произ
-
ведения
P
5
´
4
6
A
= 43200.
Замечание
.
Если
бы
в
задаче
было
n
львов
и
m
тигров
,
то
общее
чис
-
ло
способов
было
равно
P
n
´
1
m
n
A
+
при
условии
,
что
m
£
n + 1 –
иначе
два
тигра
обязательно
окажутся
рядом
.
2.5
Разные
задачи
1.
Сколькими
способами
можно
указать
на
шахматной
доске
два
квадрата
–
белый
и
чёрный
?
А
если
нет
ограничения
на
цвет
квадратов
?
Ответ
:
1 042; 4 032.
2.
Сколькими
способами
можно
выбрать
на
шахматной
доске
белый
и
чёрный
квадраты
,
не
лежащие
на
одной
горизонтали
и
вертикали
?
Ответ
:
24
32
´
.
3.
Имеется
три
волчка
с
6, 8
и
10
гранями
соответственно
.
Скольки
-
ми
различными
способами
они
могут
упасть
?
А
если
известно
,
что
по
крайней
мере
два
волчка
упали
на
сторону
,
помеченную
цифрой
«1»?
Ответ
:
480.
4.
Сколькими
способами
можно
выбрать
из
полной
колоды
карт
(52
карты
)
по
одной
карте
каждой
масти
?
Ответ
:
13
4
.
5.
В
магазине
лежат
6
экземпляров
романа
И
.
С
.
Тургенева
«
Рудин
»,
3
экземпляра
его
же
романа
«
Дворянское
гнездо
»
и
4
экземпляра
романа
«
Отцы
и
дети
».
Кроме
того
,
есть
5
томов
,
содержащих
романы
«
Рудин
»
и
«
Дворянское
гнездо
»,
и
7
томов
,
содержащих
романы
«
Дворянское
гнездо
»
и
«
Отцы
и
дети
».
Сколькими
способами
можно
сделать
покупку
,
содержа
-
щую
по
одному
экземпляру
каждого
из
этих
романов
?
Та
же
задача
,
если
,
кроме
того
,
в
магазине
есть
3
тома
,
в
которые
входят
романы
«
Рудин
»
и
«
Отцы
и
дети
».
Ответ
:
134; 143.
48
6.
Возможно
ли
равенство
P
n
= 36
2
1
-
n
A
и
если
да
,
то
при
каких
n?
Ответ
:
Да
,
при
6
=
n
.
7.
Сколькими
способами
могут
4
человека
разместиться
в
четырёх
-
местном
купе
железнодорожного
вагона
?
Ответ
:
24.
8.
Найти
число
простых
чисел
,
не
превосходящих
250.
Ответ
:
53.
9.
У
одного
человека
есть
7
книг
,
у
другого
9.
Сколькими
способами
они
могут
обменять
книгу
одного
на
книгу
другого
,
если
все
книги
раз
-
личны
?
Та
же
задача
,
но
меняются
две
книги
одного
на
две
книги
другого
.
Ответ
:
63; 756.
10.
Автомобильные
номера
состоят
из
одной
,
двух
или
трех
букв
и
четырех
цифр
.
Найти
число
таких
номеров
,
если
используются
27
букв
русского
алфавита
.
Ответ
:
4
33 820 10
´
.
11.
Сколькими
способами
можно
составить
список
из
7
студентов
?
Ответ
:
5 040.
12.
Из
спортклуба
,
насчитывающего
30
человек
,
надо
выбрать
ко
-
манду
из
4
человек
для
участия
в
беге
на
1000
м
.
Сколькими
способами
можно
это
сделать
?
А
если
нужно
выбрать
команду
из
четырех
человек
для
участия
в
эстафете
100 + 200 + 400 + 800?
Ответ
:
27 405; 657 720.
13.
Сколько
различных
четырехзначных
чисел
можно
составить
из
се
-
ми
цифр
0, 1, 2, ... , 6,
если
каждая
из
них
может
повторяться
несколько
раз
?
Ответ
:
2 058.
14.
Сколько
пятизначных
чисел
можно
составить
из
цифр
1, 2, 4, 6,
7, 8,
если
никакую
цифру
не
использовать
более
одного
раза
?
Ответ
:
6!.
49
15.
На
танцевальном
вечере
присутствуют
12
девушек
и
15
юношей
.
Сколькими
способами
можно
выбрать
из
них
четыре
пары
для
танцев
?
Ответ
:
17 417 400.
16.
Из
цифр
1, 2, 3, 4, 5
составляются
всевозможные
числа
,
каждое
из
которых
содержит
не
менее
трех
цифр
.
Сколько
таких
чисел
можно
соста
-
вить
,
если
повторение
цифр
в
числах
запрещено
?
Ответ
:
.
300
3
5
4
5
5
=
+
+
A
A
P
17.
Сколькими
способами
можно
выбрать
6
одинаковых
или
разных
пирожных
в
кондитерской
,
где
продаются
11
разных
сортов
пирожных
?
Ответ
:
4
11
H
.
18.
Сколько
всего
костей
домино
,
если
используется
для
их
образо
-
вания
7
цифр
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Ответ
обосновать
.
Ответ
:
28,
так
как
кости
домино
можно
рассматривать
как
неупоря
-
доченные
2-
выборки
из
7-
ми
цифр
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6
с
повторениями
.
19.
В
группе
35
учащихся
.
Из
них
20
посещают
математический
кру
-
жок
,11 –
физический
; 10
учащихся
не
посещают
ни
одного
из
этих
круж
-
ков
.
Сколько
учащихся
посещают
оба
кружка
?
Сколько
учащихся
посе
-
щают
только
математический
кружок
?
Ответ
:
6; 14.
20.
Изучаются
10
учебных
предметов
.
В
понедельник
надо
поставить
6
уроков
,
причем
все
разные
.
Сколькими
способами
можно
составить
рас
-
писание
на
понедельник
?
Ответ
:
151 200.
21.
Сколькими
способами
читатель
может
выбрать
3
разные
книги
из
пяти
?
Ответ
:
10.
22.
Сколькими
способами
можно
переставить
буквы
в
слове
«
тик
-
так
»
чтобы
одинаковые
буквы
не
шли
друг
за
другом
?
То
же
самое
для
слова
«
тартар
».
Ответ
:
84; 30.
50
23.
Сколько
целых
чисел
от
0
до
999,
которые
не
делятся
ни
на
2,
ни
на
3,
ни
на
5,
ни
на
7?
Ответ
:
228.
24.
Сколькими
способами
можно
переставить
числа
1, 2, 3, 4, 1, 2, 3,
4
так
,
чтобы
никакие
две
одинаковые
цифры
не
шли
друг
за
другом
?
Ответ
:
864.
25.
Сколькими
способами
можно
переставить
числа
1, 2, 3, 4, 5, 2, 5,
4
так
,
чтобы
никакие
две
одинаковые
цифры
не
шли
друг
за
другом
.
Ответ
:
2 230.
26.
Сколько
разных
слов
можно
составить
,
переставляя
буквы
в
сло
-
ве
«
мама
»?
Напишите
эти
слова
.
Ответ
:
6.
27.
В
комнате
n
лампочек
.
Сколько
всего
разных
способов
освеще
-
ния
комнаты
,
при
которых
горит
ровно
k
лампочек
?
Сколько
всего
может
быть
различных
способов
освещения
данной
комнаты
?
28.
Сколькими
способами
можно
разместить
на
полке
4
разные
книги
?
Ответ
:
24.
29.
Сколько
можно
составить
перестановок
из
n
элементов
,
в
которых
данные
два
элемента
не
стоят
рядом
?
Ответ
:
(
)(
)
!
1
2
-
-
n
n
Решение
:
Данные
два
элемента
,
например
«a»
и
«b»,
будем
считать
за
один
элемент
«ab».
Тогда
имеем
(
)
1
-
n
элементов
,
которые
можно
пере
-
ставить
(
)
!
1
-
n
способами
.
Если
же
имеем
элемент
«ba»,
то
имеем
также
(
)
!
1
-
n
способов
перестановки
(
)
1
-
n
элементов
.
Следовательно
,
число
пе
-
рестановок
,
в
которых
«a»
и
«b»
стоят
рядом
,
равно
(
)
!
1
2
-
n
.
Всего
!
n
пе
-
рестановок
.
Тогда
искомое
число
перестановок
равно
(
)
! 2
1 !
n
n
-
-
.
30.
Сколькими
способами
можно
рассадить
4
учащихся
на
25
мест
?
Ответ
:
303 600.