Документ: 645, страницы 11-15 | База студенческих работ

r x H H1 x

1 r x3

m

2H1

h r cos

6

H12 h cos

r x

3H1 H H1

x x2 .

(9)

6H12 h cos

Вес жидкости в конической части высотой x равен объему ко-

1

2

1

2

x2

нуса на объемный вес жидкости Q

r

x

r

x.

y

H12

3

При x H1

; m

r

3H H1

H12 ;

при

x H1 и

к

6H1 h cos

r

0; mц 6h 3H H1 . Эпюры m даны на рис. 6. Разрывы на эпюрах вызваны краевыми эффектами.

6.Краевой эффект в цилиндрической оболочке

(моментная теория расчета оболочек)

Длинные цилиндрические оболочки соединены фланцами, являющимися более жесткими по отношению к оболочкам. Оболочка, находящаяся под внутренним давлением qможет увеличить начальный диаметр. Вследствие этого на некотором участке от фланца стенки оболочки получают искривление. Исследуем напряженное состояние и изгиб стенок оболочки (краевой эффект), считая, что продольные усилия в поперечном сечении отсутствуют.

Рис. 7

В общем случае изгиб цилиндрической оболочки включает десять уравнений равновесия элемента. Из них поперечная сила Qy 0; моменты крутящие M(кр)xy M(кр)yx 0; сдвигающие силы

Txy Tyx 0.

Погонные моменты Mx и поперечные силы Ny , в виду симметрии относительно оси X не получают приращения в радиальных сечениях. Остальные уравнения равновесия, согласно рис. 7, при h 1:

Fx

0;

dNx

d r dx 0. Отсюда

dNx

0 или Nx

– const.

dx

d

dQx

dx

Fz

0;

2Nydx sin

dx r d q r d dx 0.

2

dx

Заменим sin

d

,

сократив на d dx, получим

2

Ny

dQ

x

q

(10)

r

dx

dMy

my 0

dQ

dx

; Qx

r d dx

x

dx r d

dx r d 0.

2

dx

Второе слагаемое, в виду малости, отбрасываем,

получим

Qx

dMy

.

Подставим

данное

выражение

в (10),

имеем

dx

Ny

d2M

q.

(11)

r

dx

2

В выражении (10) два неизвестных.

Введем дополнительное

уравнение погонных продольных сил Nx

q r2

q r

.

(12)

2 r

2

В дальнейшем, от дифференциальных уравнений в усилиях перейдем к дифференциальным уравнениям в радиальных перемещениях. Для этого выразим усилия через деформации, а деформации – через перемещения.

Закон Гука при плоском напряженном состоянии ( z 0):

x

E

x

y ; y

E

y

x .

(13)

2

1 2

1

Усилия при ширине вырезанного участка, равного единице,

примут вид Nx

E h

x y

;

Ny

E h

y x .

(14)

1 2

Приравняем Nx выражений (12) и (14), получим

x

q r

1 2 .

(15)

2E h

Относительная радиальная деформация, при условии сохране-

ния формы окружности, y

2 r w 2 r

w

.

(16)

2 r

r

Погонная поперечная сила Ny, с учетом (15) и (16), равна

E h

w

q r

E h

qr

Ny

1 2

w

.

(17)

r

2

1 2

r

2E h

Дополнительный погонный изгибающий момент от силы Nx

имеет значение My Nx

Nx w.

(18)

Изгибающие моменты от внутреннего давления q, соответст-

венно равны,

1

d2w

d

2w

My

; Mx

q

My q .

2

q D

1

D

dx

dy

2

При

равномерном

радиальном

расширении

цилиндрической

оболочки приращение перемещения к приращению радиуса оста-

1

d2w

ется постоянным,

0

, поэтому моменты примут вид

2

t

dy2

d2w

1

d2w

Mx q

D

My q D

D

;

.

(19)

1

dx

2

dx

2

d2w

Полный момент My My(q)

My(N

) D

Nx

w.

(20)

x

dx2

Ny

d2

d2w

Подставим (17)

в (11), имеем

2

2 Nx w

q;

r

dx

D

dx

раскрывая полученное выражение, учетом (12) и (17), окончательно

определяем

E h

w

q

D

d4w

q r d2w

q, или

r2

2

dx4

2

dx2

d4w q r d2w

E h

D

w q 1

.

(21)

dx4

2

dx2

r2

2

Выражение (21) – дифференциальное уравнение равновесия эле-

мента цилиндрической оболочки в перемещениях.

Влияние продольной силы Nx на изменение w незначительно и

ею можно пренебречь. Тогда (равенство нулю Nx )

приближенное

уравнение равновесия примет вид

D

d4w

E h

w q. Данное вы-

dx

4

r2

d4w

E h

w

q

ражение можно записать как

.

(22)

dx4

D r2

D

E h

Уравнение (22) можно преобразовать, обозначив

4 4,

D r2

4

E h

где

4D r2 – коэффициент затухания перемещений, 1/м.

d4w

4 4

w

q

.

(23)

dx4

D

d4w

При q 0 уравнение (23) примет вид

4 4

w 0,

(24)

dx4

балки на упругом основании.

Четырежды интегрируя уравнение (23), получим перемещение срединной поверхности оболочки

w e	x C sin x C	2	cos x e x C	3	sin x C	4	cos x f x , (25)
	1
где	f x – частное решение; при q			const по всей длине оболочки,

f x q r2 . E h

Следовательно, все силы и моменты можно определить как

Nx

q r

; Ny

E h

w; My

D

d2w

;

Mx My

D

d2w

;

2

r

dx

2

dx

2

dMy

Q

D

d3w

. Угол наклона касательной к

срединной по-

dx

dx3

x

верхности dw . dx

7. Расчет длинной цилиндрической оболочки (защемление с двух сторон)

Признаком длинной оболочки считают выражение l 2 .

В уравнении (25) при x ; e x , что противоречит условию закрепления второго торца, следовательно, С1 и С2 равны нулю.

Уравнение (25) примет вид

w e x C3 sin x C4 cos x f x .

(26)

	q	2r
		x
h	l/2
	l/2
	а)	Рис. 9
		Рис. 9

Q0

M0

б)

На рис. 9 показана половина оболочки с защемлением левого торца, загруженная внутренним давлением q.

Расчетную схему представим как цилиндрическую оболочку, загруженную по левому торцу моментом и силой. Это возможно, если отделить массивный фланец от цилиндрической оболочки

(рис. 9 б).

Для определения С3 и С4 продифференцируем уравнение (26):

dw e x cos x C3 C4 sin x C3 C4 ; dx

d2w2 2 2 e x C4 sin x C3 cos x ; dx

d3w3 2 3 e x cos x C3 C4 sin x C3 C4 . dx

		d2w		M			d3w	Q
При x 0	;				0	;		0	,

		dx	2	D			dx3
								D

где Q0 и M0 – поперечная сила и момент в защемлении. Приравняем выражения (26б) и (26в), соответственно

получим С3 2DM0 2 и С4 2DQ0 3 2MD0 3 .

(26а)

(26б)

(26в)

M0 и Q0 ,

(27)

Частное решение уравнения (26) получим согласно граничным условиям данной схемы: равенства нулю прогиба и угла поворота срединной поверхности оболочки w x 0 0; x 0 0.

Материал: 645

Смотрите также: