Материал: 1832

2.3.2. Цифровые коды

В основу прав л соответствия кодовых комбинаций числам цифровых кодов положены математические системы счисления, поэтому данные коды называются также арифметическими или взвешенными [7].

Запись кодовых ком инаций в виде многочлена

Любое число в системе счисления с основанием X можно представить в виде многочлена. Так, n-разрядное число запишется в виде

i 0

31

Десятичное число 47 запишется следующим образом:

47 1 25 0 24 1 23 1 22 1 21 1 20

или в виде многочлена

СибАДИG(X) 1 x5 0 x4 1 x3 1 x2 1 x1 1 x0 x5 x3 x2 x1 1. (2.3.4)

Сложение

Над многочленами можно производить все алгебраические операции. Обычное сложение с переносом числа в высший разряд здесь непримен мо, так как это может привести к образованию более высокого разряда, чем пр нято в данном коде, что недопустимо. Поэтому применяется так называемое сложение двоичных чисел по модулю 2, обозначаемое знаком.

При двух слагаемых правила сложения следующие: 0 0 0; 0 1 1; 1 0 1; 1 1 0.

При сложении многозначных чисел складывают разряды, занимающие одинаковые места. При этом сложение сводится к сложению только коэффициентов при членах совпадающих степеней. Если складываются несколько чисел, то четное число единиц в сумме дает нуль, а сумма нечетного числа единиц приравнивается к единице. Иногда в результате сложения нескольких чисел сумма выражается меньшим двоичным числом, чем какое-либо из слагаемых.

Для примера произведем сложение следующих многочленов:

x6 x5 x3 x2 1; x5 x4 x2; x6 x5 x4 x3 x2 x1 1.

32

Выразим эти многочлены в двоичных числах и, расположив их соответствующим образом в столбцы, произведем сложение:

СибАДИчением сложен я, которое производится по модулю 2. Перемнож м два многочлена:

Для того что ы при умножении многочленов не увеличилась разрядность степени многочлена выше заданной, производят так называемое с мвол ческое умножение, или умножение в конечном поле

Произведем теперь умножение многочлена на xn. Например, (x5 x4 x2) x3 x8 x7 x5.В результате умножения степень каждого члена многочлена повышалась на n. В двоичной форме записи 110100 x 1000=110100000. Таким образом, умножение многочлена на xn означает приписывание справа n нулей.

Деление

При делении в двоичной записи делитель умножается на частное и подписывается под делимым так, чтобы совпадали старшие разряды. В частное записывается единица. Для нахождения первого остатка из делимого вычитается делитель (что эквивалентно их сложению

33

по модулю 2) и к остатку справа сносится очередной разряд делимого. Далее под первым остатком снова подписывается делитель и в частное приписывается еще одна единица, если число разрядов в остатке равно числу разрядов делителя. В противном случае в частном записывается нуль и к остатку подписывается очередной член делимого. Деление продолжается до тех пор, пока степень остатка не станет

СибАДИменьше степени делителя, т.е. число разрядов остатка не окажется меньше ч сла разрядов делителя. Например,

.

При составлен ц клических кодов необходимо уметь находить только остатки без определения частного. Ниже дается пример нахождения нескольких остатков при делении единицы с нулями на слу-

чайно выбранный многочлен P(X) x3 x 1. Следует помнить, что число разрядов у остатков на единицу меньше, чем у делителя.

Перенос слагаемых

Понятие отрицательной цифры при операциях в конечном поле двоичных чисел отсутствует, так как это привело бы к увеличению признаков с двух до трех, т.е. к троичной системе счисления. Поэтому перенос слагаемых из одной части в другую производится без изменения знака. Например, справедливо как выражение

34

(x4 x 1) (x3 x) x4 x3 1, так и выражение, отличающееся тем, что второе слагаемое левой части перенесено в правую без изменения знака, т.е. (x4 x 1) (x3 x) (x4 x3 1).Справедливость этих равенств проверяется сложением по модулю 2 одночленов с одинаковыми степенями.

Если взять любые две или более строки матрицы a и сложить их по модулю 2, то получим одну из остальных строк, записанных в этой матрице (пункты б – з). Например, складывая вторую и третью строки, получим четвертую строку (пункт г). Из матрицы a можно выбрать комбинации, состоящие из одной единицы. Такие комбинации образуют матрицу, называемую единичной матрицей (матрица и). Матрица к является транспонированной единичной матрицей, т.е. зеркальным отображением матрицы и. Интересным свойством обладает единичная матрица : если сложить по модулю 2 в различном сочетании строки, то получим все остальные строки матрицы a без нулевой.

При исследовании кодов иногда оказывается полезным графическое и геометрическое представление кодов.

35