Материал: 1832

их с вертикальными линиями, т.е. линии 0–1', 1–2' и т.д. Далее точки 1'–1, 2'–2, 3'–3 и т.д. соединяют и получают ломаную квантованную функцию λ’(t).

СибАДИТ ав

Рис. 2.2.1. Квантование сообщения по времени: а – метод квантования и восстановление функции

ступенчатой интерполяцией; б – погрешности квантования; в – восстановление функции линейной интерполяцией

Очевидно, что чем больше дискретных значений передается за время Т, т.е. чем меньше шаг квантования ∆t, тем с большей точностью будет восстановлена на приеме функция λ’(t). Однако излишне

16

малая величина ∆t увеличивает массив измеренных значений и для их запоминания требуется больший объем памяти. В то же время при чрезмерно большом шаге квантования воспроизводимая функция будет не очень точной и сильно искаженной.

Однако меется ряд ограничений для практического применения этой теоремы. Так, все соо щения, передаваемые в телемеханике, представляют со ой о ычно видеоили радиоимпульсы длительностью τ, у которых спектр есконечен. Поэтому представляет значительные трудности вы ор величины Fmax в формуле (2.2.1) для функций, огран ченных во времени. Так, например, если передавать синусоидальное напряжение с частотой 50 Гц бесконечно долго во времени, то согласно формуле (2.2.1) для восстановления его формы на приеме достаточно передать за период лишь два импульса, соответствующих амплитудным значениям: один – положительной полуволне, другой – отрицательной. Если же предавать синусоидальное напряжение в конечном отрезке времени, то для восстановления формы этого радиоимпульса необходимо уже не два, а значительно больше импульсов, хотя точно указать их число невозможно из-за того, что спектр частот радиоимпульсов бесконечен.

Практически теорему Котельникова можно принять со следую-

где η – коэффициент, зависящий от точности воспроизведения функции и способа интерполяции: при линейной ηл=0,75/ и при ступенчатой ηст=(3–5)ηл (δ – относительная погрешность в %).

Существует и другой подход определения шага квантования, исходящий из задаваемой величины погрешности. Для примера на рис. 2.2.1,б начерчены в виде фигур, близких к треугольникам, вели-

17

чины абсолютных погрешностей, возникающих при квантовании; эти фигуры подобны таковым на рис. 2.2.1,а. На рис. 2.2.1,б показано, что заданная величина абсолютной погрешности ∆З на одном участке нарастания функции λ(t) достигается за период ∆t, на другом – за ∆t2, а на некоторых она оказывается меньше заданной (например, на участ-

всплеск функц (пунктир), то выбранный шаг квантования ∆t оказался бы сл шком большим и этот всплеск не был бы восстановлен

где ∆ – абсолютная погрешность (см. рис. 2.2.1,б).

Если считать, что максимальная скорость нарастания сохраняется во всем диапазоне изменения сообщения от нуля до максимального значения, то минимальное время изменения сообщения (т.е. период) во всем диапазоне

Здесь при расчетах следует учитывать или +∆з, или –∆з, т.е. в среднем ∆/2. Это значит, что δ=∆∙100/2λmax, откуда ∆=2λmax δ/100.

Формула выведена с учетом восстановления функции при помощи ступенчатой интерполяции.

Пример. Найти ∆t при квантовании синусоидального напряжения частоты F=50 Гц. Погрешности при восстановлении δ=1%.

18

с=0,4 мс. Такой же результат получается и из формулы (2.2.5). Таким образом, при заданной точности восстановления каждый полупериод синусо ды следует передавать одним значением, а именно 25 при ступенчатой нтерполяции и 7,5 при линейной.

Восстанов ть квантованную по времени функцию на приемной стороне можно при помощи ступенчатой или линейной интерполяции или спользуя метод Котельникова. Чаще всего применяется ступенчатая нтерполяция. Ступенчатая интерполяция на рис. 2.2.1,а выполняется с помощью запоминающих устройств, сохраняющих значен я λ(ti) до появления следующего значения λ(ti+1).

Погрешность от ступенчатой интерполяции изображена на рис. 2.2.1,б. Причем под погрешностью интерполяции понимается разность между мгновенными значениями восстановленного и исходного символов, взятых в одни и те же моменты времени. Максимальная погрешность возникает в точках 1', 2', ..., 9'. Погрешность равна нулю в точках 1, 2, 3, ..., 9.

В общем случае задаются среднеквадратичные значения этой погрешности

где n – число замеров.

При восстановлении квантованной функции по Котельникову нужно знать все дискретные точки, как предыдущие, так последующие, или во всяком случае для практической реализации должно быть известно несколько точек до и после интервала, в котором происходит интерполяция. Знание последующих точек возможно лишь в системах, допускающих запаздывание в передаче информации. Большинство телемеханических систем работает в реальном масштабе времени и не допускает запаздывания. В таких системах приходится использовать ступенчатую интерполяцию.

19

Действительно, если, например, известно значение функции в момент t4 (см. рис. 2.2.1,а, точка 4), то при ступенчатой интерполяции нам заранее известно, что через ∆t значение функции будет тем же (точка 5`). Каким оно будет при линейной интерполяции через интервал ∆t, неизвестно: то ли возрастет (точка 5), то ли уменьшится (точка 52).

спектру передаваемой функции. Однако при этом возникают погрешности з-за того, что амплитудно-частотная характеристика реального фильтра отл чается от характеристики идеального фильтра. Восстановлен е при помощи фильтра имеет смысл, если спектр передаваемой функц достаточно сосредоточен в области нуля по оси частот. Квантован е по времени о ычно используется для осуществления амплитудномпульсной модуляции.

Квантован е по уровню и времени. При квантовании по уров-

ню передаваемые значения могут следовать друг за другом с переменным шагом ∆t. При квантовании по времени найденные значения непрерывной величины в дискретные моменты времени чередуются через строго определенные интервалы времени ∆t (шаг квантования), но имеют самую разноо разную амплитуду (уровень) [6].

В некоторых случаях квантование осуществляется с заданными шагами квантования как по времени, так и по уровню. На рис. 2.2.2 показано, как производится квантование по уровню по времени функции λ(t).

Рис. 2.2.2. Квантование по уровню и времени

20