Материал: 1832

Просуммируем по модулю 2 единичные значения каждой из трех строк и приравняем сумму к нулю.

Так как в данном случае информация передана без искажений, S=000. Информационное слово I получается из кодового слова С путем отбрасывания контрольных разрядов:

Это означает, что кодовое слово было принято с ошибкой, тогда проверочные равенства в приемнике дадут синдром ошибки:

56

с2 а1 а2 а3=1 0 1 1=1; с1 а0 а2 а3=0 1 1 1=1; (2.3.14) с0 а0 а1 а3=0 1 0 1=0.

Полученный синдром S=110 указывает, что ошибка произошла в

Таблица 2.3.11

Кодовое 7-разрядное слово в систематическом коде Хемминга (7,4)

а3 а2 а1 а0 с2 с1 с0

Информационные разряды аi являются элементами единичной матрицы k×k. В систематическом коде номер ошибочного разряда определяется по синдрому с помощью матрицы H(n, k). Номер столбца, совпадающий с синдромом, соответствует разряду кодового слова, который содержит ошибку.

Групповые коды удобно задавать при помощи матриц, размерность которых определяется параметрами k и n. Число строк равно k, а число столбцов равно n=k+r.

57

Строки единичной матрицы представляют собой линейно независимые комбинации, т.к. их попарное суммирование по модулю два не приводит к нулевой строке.

Пусть требуется передать кодовое слово 1101, содержащее 4 информационных разряда (k=4), но с помощью систематического кода, исправляющего одну одиночную ошибку.

Как было установлено, Nk=2k=24=16. Из условий 2r≥n+1 и n=k+r имеем 2r≥k+r+1=4+r+1=5+r, откуда r=3. Кодовое расстояние определится из условия d≥2p+1, где p – число исправляемых ошибок. При p=1 dmin=3.

58

Для кода (7,4)

троки порождающей матрицы представляют собой первые k комбинац й коррект рующего кода (информационная матрица Ikk). Последующ е r столбцов порождающей матрицы представляют собой коррект рующ е разряды с0, с1, с2, предназначенные для обнаружения ли справлен я оши ки в информационной части кода. Это проверочная матр ца Rkr.

Вес каждой строки проверочной матрицы (количество единиц в

трехзначные двоичные ком инации с числом единиц, большим или равным двум: 111; 110; 101; 011.

Окончательный вид проверочной матрицы:

Как видно, основным требованиям могут удовлетворять несколько матриц. Выбор матрицы определяется по дополнительным

59

требованиям: минимум корректирующих разрядов или максимальная простота аппаратуры. Полученную комбинацию в виде проверочной матрицыRkr приписывают справа к информационной матрице и получают порождающую матрицу корректирующего кода.

Выберем четвертую из приведенных матриц. Тогда порождаю-

n

Столбцы проверочной матрицы Rkr определяют правила формирования проверок.

Процесс кодирования состоит во взаимно-однозначном соответствии k-разрядных информационных слов I и n-разрядных кодовых слов С.

Произведение информационного слова на порождающую матрицу дает кодовое слово C=IG.

Информационному слову I=1101 соответствует следующее кодовое слово:

Процесс декодирования состоит в определении соответствия принятого кодового слова переданному информационному. Это осу-

на столбцы); Irr – единичная матрица.

60