Материал: 18

1. Содержание и классификация задач оптимального приёма дс:

Определение параметров сигналов (амплитуда, частоты, фазы, направления прихода, поляризации). Приемник представляет собой решающее устройство, которое в соответствии с некоторым правилом А(x),(алгоритм или правило решения), определяет значение информационного параметра ai (принимает решение о значении выходного сигнала, используя входной сигнал x(t) и порог h.

Постановка задачи синтеза оптимального приемника дискретных сообщений:

1. Будем полагать, что сообщения на выходе источника появляются с вероятностями причём

2. Сообвввввщения отображаются в соответствующие им сигналы S_i(t) и полностью известны на приемной стороне.

3. Сигналы передаются по каналу с постоянными параметрами, коэффициент передачи  и время задержки  в канале известны.

4. В канале действует аддитивный белый гауссовский шум (АБГШ) n(t)=N(m,σ),

и поэтому на выходе канала, а значит на входе приемника имеется реализация случайного процесса z(t) = S_i(t) + n(t), 0 ≤ t ≤ T.

5. Реализации дискретизируются z(t_k) = S_i(t_k) + n(t_k) с учетом теоремы Котельникова: Δt≤1/2Fв, при этом Δt ≥ τкорр помехи, а это значит, что отсчеты z(t_k) некоррелированые, а для гауссовой статистики некореллированные отсчеты являются независимыми. Значит совместная плотность вероятности этих отсчетов равна произведению плотностей вероятности отдельных гауссовых реализаций.

6. Сигналы Si (t) являются Т-финитными, т. е. их длительность равна Т, а значит полоса занимаемых частот ∆f =1/T.

7. Между приемником и передатчиком имеется жесткая синхронизация и интервал анализа Та равен длительности передаваемого сигнала Т.

8. Получатель не знает, какой вариант сигнала передавался, ему не известен индекс передаваемого сигнала i.

Задачи проверки гипотез, решаемые при приеме дискретных сообщений:

1. На выходе канала (на входе приемника) действует реализация случайного напряжения z(t) = S_i(t) + n(t). S_i(t) - передаваемый сигнал (сообщение); n(t) – случайный помеховый сигнал.

2. Условная плотность распределения вероятности принятой реализации z(t):

l [z(t)] = w[z(t)/S_i] – функционал правдоподобия, - реализация напряжения z(t) вызвана наличием в нем передаваемого сообщения S_i.

Если сигнал z(t) дискретизировать с интервалом ????t, то реализацию можно представить вектором дискретных отсчетов z = (z1, z2 … zn), тогда условная плотность распределения вероятности принятого дискретного вектора: l (z)=w[z/si ] – функция правдоподобия.

Различение сигналов можно трактовать в терминах проверки статистических гипотез: гипотеза Н_i – наличие S_i -того и только S_i -того сообщения в реализации z(t) или в дискретных отсчетах этой реализации z.

Пусть принимается двоичное сообщение. Приемник получает напряжение z(t). Тогда возможны две гипотезы: Основная гипотеза Н0: z(t)=S₀(t)+ n(t). Альтернативная гипотеза Н₁: z(t)=S₁(t)+ n(t). Задача различения этих двух сигналов сводится к статистической задаче проверки гипотез: проверить основную гипотезу относительно альтернативной.

Условная плотность вероятности основной гипотезы w(z/H0 ) – функция правдоподобия гипотезы Н0 . Условная плотность вероятности альтернативной гипотезы w(z/H₁) – функция правдоподобия гипотезы Н1.

2. Оптимальный приём дс в кс с детерминированной и стохастической структурой:

Количественно помехоустойчивость определяется мерой соответствия принятого сообщения переданному. Эта мера качества решения из-за случайного характера помех всегда является статистической и определяется потребителем сообщения (степенью чувствительности потребителя к тем или иным искажениям).

Оптимальный приемник (оптимальное правило решения) обеспечивает наилучшее качество решения, то есть обеспечивает минимум искажений переданного сообщения в соответствии с мерой качества, заданной потребителем.

Оптимальное значение меры качества, которое достигается приемником в процессе оптимизации, называется критерием оптимальности приема.

3. Обнаружение и различие дс:

4. Критерии оптимального приёма дс на основе Байесовского подхода к минимизации среднего риска:

Количественно помехоустойчивость определяется мерой соответствия принятого сообщения переданному. Эта мера качества решения из-за случайного характера помех всегда является статистической и определяется потребителем сообщения (степенью чувствительности потребителя к тем или иным искажениям).

Оптимальный приемник (оптимальное правило решения) обеспечивает наилучшее качество решения, то есть обеспечивает минимум искажений переданного сообщения в соответствии с мерой качества, заданной потребителем.

Оптимальное значение меры качества, которое достигается приемником в процессе оптимизации, называется критерием оптимальности приема.

Байесовский приемник.

При приеме дискретных сигналов в качестве меры помехоустойчивости обычно используется средний риск R_ср, тогда критерием оптимальности является min {R_ср}.

- функция потерь (риск потребителя) при приеме aj , когда передавался сигнал Si ; при этом i = j соответствует правильному приему.

-число передаваемых сигналов.

Пример при М=2:

1. Пожар – пожарной тревоги нет (пропуск сигнала, ошибка первого рода). Плата (потери, риск) большая.

2. Пожара нет - пожарная тревога есть (ложная тревога, ошибка второго рода). Плата (потери, риск) малая.

Приемник, работающий по этому критерию, называется байесовским, а правило решения - байесовским правилом.

5. Согласованная фильтрация финитных во времени сигналов:

При оптимальном приеме на выходе устройства оптимальной обработки (оптимального фильтра) формируется АКФ сигнала:

Если устройство обработки линейное, то выходной сигнал является сверткой входного сигнала и импульсной характеристики системы.

Где x(t) – входной сигнал, h(t) – импульсная характеристика системы.

Значит, если импульсная характеристика есть зеркальная копия сигнала (меняем знак аргументов), то фильтр с такой характеристикой формирует АКФ сигнала, с которым он согласован. К моменту окончания сигнала на его выходе будет энергия сигнала, и максимально возможное отношение сигнал /помеха. Спектр сигнала есть преобразование Фурье от сигнала. Преобразование Фурье от импульсной характеристики фильтра есть его КЧХ. Преобразование Фурье от зеркальной импульсной характеристики по свойствам есть комплексно- сопряженная КЧХ.

Значит, КЧХ согласованного с сигналом фильтра есть комплексно-сопряженный спектр согласованного сигнала.

6. Импульсная характеристика и передаточная частотная функция согласованного фильтра:

Передаточная функция фильтра, максимизирующего к моменту t₀ выходное отношение сигнал/помеха

Частотные характеристики согласованного фильтра:

АЧХ ФЧХ

Такой вид ФЧХ приводит все спектральные компоненты сигнала s(t) на выходе к одной фазе в момент времени t₀, и они складываются когерентно, собирая всю энергию сигнала.

Импульсная характеристика согласованного фильтра:

Сигнал на выходе есть свертка входного сигнала и импульсной характеристики:

Сравним формулу расчета свертки и корреляционной функции:

Корреляционная функция:

свертка сигнала и его зеркальной копии. Сигнал на выходе согласованного фильтра по форме совпадает с АКФ сигнала, с которым фильтр согласован, а

значит, имеет максимальное значение, соответствующее энергии сигнала в момент времени окончания сигнала.

Структурная схема оптимального когерентного приемника на согласованных фильтрах

7. Алгоритмы работы и структурные схемы оптимальных приёмников дс в гауссовском кс с квадраторами (по критерию идеального наблюдателя):

Максимальная помехоустойчивость оптимального приемника будет реализована при обработке сигнала в течении всей посылки с длительностью Т, а не в дискретных отсчетах. Тогда функционал отношения правдоподобия =

Функционал является функцией от функции, а, следовательно, принимает макс значение, если в принимаемой смеси содержится

Из него вытекает соотношение для процедуры обработки принимаемой смеси:

Символ ai регистрируется только в случае, если интеграл в левой части наименьший.