Материал: Індив. завдання
51
1
2
3
1
2
3
1
2
3
3
9;
2
2
6;
)
)
2
8;
2
7;
9
2
32
x
x
x
x
y
a
b
x
x
x
x
y
x
x
x
+
+
=
−
= −
+
+
=
−
= −
+
+
=
2.
Розв’язати кожну з систем методом Гаусса:
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
2
5
1;
3
2
2;
)
2
9;
)
2
4
0;
3
3
2
1
2
2
2
x
x
x
x
x
x
a
x
x
x
b
x
x
x
x
x
x
x
x
x
−
+
+
= −
−
−
=
+
−
=
−
−
=
−
+
+
=
+
+
=
У випадку невизначеної системи записати загальний та базисний розв’язки.
3.
Розв’язати систему:
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
2
3
0;
2
2
2;
2
4;
2
2
3
4
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
+
+
−
=
−
+
+
+
= −
+
−
−
=
+
+
+
=
4.
Дані вектори
1
2
3
4
,
,
,
a a a a
. Показати, що вектори
1
2
3
4
,
,
,
a a a a
утворюють
базис чотиривимірного простору і знайти координати вектора в цьому
базисі, якщо
1
a
(1; 1; 1; 2),
2
a
r
(–2; 3; –1; 2),
3
a
(3; 1; 1; -1),
4
a
(1; 1; -1; 2),
b
(1;5;1; -2).
Індивідуальне завдання 3.
Дано вершини A(x
1
; y
1
), B(x
2
; y
2
), C(x
3
; y
3
) трикутника. Знайти:
1)довжини сторін трикутника;
2) рівняння сторін і їх кутові коефіцієнти;
3) внутрішній кут А в радіанах з точністю до 0,001;
4) рівняння висот, які проведені через вершини С, В і точку їх перетину;
5) рівняння медіани, яка проведена через вершину С;
6) довжину висоти, яка проведена з вершини С;
7) записати систему лінійних нерівностей, які визначають трикутник АВС.
Зробити малюнок.
1.
А(–1;–1),
В(–7; 2),
С(–4; 3).
2.
А(0; 1),
В(6; 4),
С(3; 5).
3.
А(1; 0),
В(7; 3),
С(4; 4).
4.
А(1; 1),
В(7; 4),
С(4; 5).
5.
А(2; 1),
В(8; 4),
С(5; 4).
6.
А(1; 1),
В(7; 4),
С(4; 5).
7.
А(1;-1),
В(-5; 2),
С(-2; 3).
8.
А(2; 0),
В(-4; 3),
С(-1; 4).
9.
А(0;-2),
В(-6; 1),
С(-3; 2).
52
10.
А(-1; 1),
В(-7; 4),
С(-4; 5).
11.
А(3; 1),
В(-3; 4),
С(0; 5).
12.
А(-1; 1),
В(5; 4),
С(2; 5).
13.
А(1; 3),
В(7; 6),
С(4; 7).
14.
А(4; 2),
В(-2; 5),
С(1; 6).
15.
А(1; 1),
В(–5; 4),
С(–2; 5).
16.
А(–1; 1),
В(5; 4),
С(2; 5).
17.
А(–1; 1),
В(–7; 4),
С(–4; 5).
18.
А(1;–1),
В(7; 2),
С(4; 5).
19.
А(1;–1),
В(-5; 2),
С(–2; 3).
20.
А(1;–2),
В(-5; 4),
С(–2; 3).
21.
А(2;–1),
В(-7; 2),
С(–3; 3).
22.
А(1;–3),
В(-4; 2),
С(–5; 3).
23.
А(5;–1),
В(-6; 2),
С(–3; 3).
24.
А(3;1),
В(-2; 2),
С(–1; 3).
25.
А(1;–8),
В(-5; 4),
С(2; 3).
26.
А(1;4),
В(2; 2),
С(–2; 3).
27.
А(7;–1),
В(-3; 2),
С(–5; 3).
28.
А(6;–1),
В(-1; 2),
С(4; 3).
29.
А(1;–3),
В(-6; 2),
С(–4; 3).
30.
А(1;–2),
В(-5; 3),
С(–2; 3).
Індивідуальне завдання 4.
Звести рівняння лінії до канонічного вигляду, визначити тип лінії та
побудувати її:
1.
2
2
5
9
30
18
9
0
x
y
x
y
+
−
+
+ =
2.
2
2
16
9
64
18
199
0
x
y
x
y
−
−
−
+
=
3.
2
2
12
14
0
y
x
y
− −
+ =
4.
2
4
8
7
0
x
x
y
−
− + =
5.
2
2
16
9
64
54
161 0
x
y
x
y
−
−
−
−
=
6.
2
2
2
2
12
3
0
x
y
x
y
+
−
+ + =
7.
2
2
4
6
23
0
x
y
x
y
+
+
−
−
=
8.
2
2
8
36
25
0
x
y
x
y
+
+
−
−
=
9.
2
2
25
49
30
18
9
0
x
y
x
y
+
−
+
+ =
10.
2
2
16
6
9
100
0
x
y
x
y
−
−
−
+
=
11.
2
2
4
5
0
x
y
y
−
− + =
12.
2
2
12
3
0
x
y
x
y
+
−
+ + =
13.
2
14
0
y
x
y
− − + =
14.
2
2
15
8
9
0
x
y
x
y
+
−
+
+ =
53
15.
2
2
50
49
15
18
1 0
x
y
x
y
+
−
+
+ =
16.
2
2
2
3
2
0
x
y
x
y
+
+
−
− =
17.
2
2
5
9
30
18
9
0
x
y
x
y
+
−
+
+ =
18.
2
2
4
6
23
0
x
y
x
y
+
+
−
−
=
19.
2
2
16
9
64
18
199
0
x
y
x
y
−
−
−
+
=
20.
2
4
8
2
5
0
x
y
y
−
−
+ =
21.
2
2
5
9
30
18
9
0
x
y
x
y
+
−
+
+ =
22.
2
2
64
18
199
0
x
y
x
y
−
−
−
+
=
23.
2
2
4
12
1 0
y
x
y
−
−
+ =
24.
2
4
8
9
0
x
x
y
−
− + =
25.
2
2
16
9
64
54
161 0
x
y
x
y
−
−
−
−
=
26.
2
2
12
8
0
x
y
x
y
+
−
+ + =
27.
2
2
4
6
23
0
x
y
x
y
+
+
−
−
=
28.
2
2
8
36
63
0
x
y
x
y
+
+
−
−
=
29.
2
2
25
49
30
18
9
0
x
y
x
y
+
−
+
+ =
30.
2
2
16
8
6
32
10
0
x
y
x
y
−
−
−
+ =
54
Розділ «Вступ до математичного аналізу»
Тема. Елементи теорії границь
Числова послідовність, границя числової послідовності
Теоретичні відомості
Якщо кожному натуральному числу
n
N
∈
за певним правилом ставиться
у відповідність число
n
x
, то множину чисел
}
{
1
2
,
,...,
n
x x
x
називають числовою
послідовністю і позначають символом
}
{
n
x
.
Число
a
називається границею послідовності
}
{
n
x
, якщо для будь-якого
числа
0
ε
>
існує такий номер
( )
N
N
ε
=
, що при всіх
n
N
>
виконується
нерівність
n
x
a
ε
− <
.
Позначається
lim
n
n
x
a
→∞
=
.
За допомогою логічної символіки це означення можна записати так:
lim
(
)
def
n
n
n
x
a
R
N
n
N
n
N
x
a
ε
ε
+
→∞
=
⇔ ∀ ∈
∃
∀ ∈
>
⇒
− <
Послідовність
}
{
n
x
називається обмеженою зверху, якщо для будь-якого
числа
0
M
>
знайдеться такий номер
N
, що для всіх
n
N
>
виконується
нерівність
n
x
M
>
.
Послідовність
}
{
n
x
називається обмеженою знизу, якщо для будь-якого
числа
0
M
>
знайдеться такий номер
N
, що для всіх
n
N
>
виконується
нерівність
n
x
M
>
.
Нехай функція f(x) визначена в деякому околі точки
0
x
, крім, можливо,
самої точки
0
x . Число
R
A
∈
називається границею функції f(x) в точці
0
x
, якщо
для довільного
0
ε
>
існує таке число
( )
0
δ ε
>
, що для всіх
( )
x
D f
∈
, які
задовольняють умову
)
(
0
0
ε
δ
<
−
<
x
x
, виконується нерівність
( )
f x
A
ε
− <
.
Позначається
lim ( )
n
f x
a
→∞
=
.
0
sin
lim
1
x
x
x
→
=
– перша чудова границя.
1
lim 1
x
e
x
→∞
+
=
– друга чудова границя.
Приклади розв’язування типових завдань
Приклад 1.
Знайти границю
2
2
2
8
3
5
lim
3
2
1
x
x
x
x
x
→
+
−
−
+
55
Розв’язання.
Функція
2
2
8
3
5
3
2
1
x
x
y
x
x
+
−
=
−
+
є елементарною і тому неперервною в кожній
точці своєї області визначення, в тому числі в точці
2
x
=
. Тому її границя в
точці
2
x
=
дорівнює значенню даної функції в заданій точці, тобто:
2
2
2
2
2
8
3
5
8 2
3 2 5
33
11
lim
3
2
1
3 2
2 2 1
9
3
x
x
x
x
x
→
+
−
⋅ + ⋅ −
=
=
=
−
+
⋅ − ⋅ +
Приклад 2.
Знайти границю
2
2
4
2
9
lim
3
7
2
x
x
x
x
x
→∞
+
−
−
+
Розв’язання.
При
x
→ ∞
маємо невизначеність виду
∞
∞
. Поділимо чисельник та
знаменник даного дробу почленно на
2
x
і отримаємо:
2
2
2
2
2
2
2
9
lim 4
lim
lim
4
2
9
4
2 /
9 /
4
lim
lim
7
2
3
7
2
3 7 /
2 /
3
lim3 lim
lim
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
→∞
→∞
→∞
→∞
→∞
→∞
→∞
→∞
+
−
+
−
∞
+
−
=
=
=
=
−
+
∞
−
+
−
+
.
Приклад 3.
Знайти границю
2
2
1
4
3
lim
3
5
2
x
x
x
x
x
→
−
+
−
+
.
Розв’язання.
Підстановка значення
1
x
=
приводить до невизначеності виду
0
0
. Для її
розкриття розкладемо вирази в чисельнику і знаменнику на множники,
скоротимо дріб на критичний множник
1
x
−
, відмінний від нуля при
1
x
→
, і
матимемо:
(
)(
)
(
)(
)
2
2
2
1
2
1
2
2
2
2
1
4
3
0;
3
5
2
0;
1;
3;
2 / 3;
1;
4
3
0
lim
3
5
2
0
4
3
3
5
2
1
3
3
2 / 3
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
→
−
+ =
−
+ =
=
=
=
=
−
+
=
=
=
−
+
−
+ =
−
+ =
= −
−
=
−
−
(
)(
)
(
)(
)
1
1
1
3
3
2
lim
lim
2
3
2 / 3
1
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
→
→
−
−
−
−
=
=
=
= −
−
−
−