Задача вывода ракеты-носителя на орбиту в условиях случайных возмущений параметров

Список авторов с электронными адресами, должностями/учебными статусами и организациями, например:

Козьмин И.В., м.н.с. отдела прикладных проблем управления ИММ УрО РАН, ikozmin@imm.uran.ru

Аннотация

Рассматривается задача максимизации массы полезной нагрузки, выводимой ракетой-носителем на заданную орбиту.

Исследуется ситуация, когда параметры нелинейной математической модели управляемого движения носителя задаются с помощью нормально распределенных случайных величин. В ходе решения задачи был проведен объёмный численный эксперимент на многопроцессорном вычислителе кластерного типа «Уран». На основе данных полученных в результате проведения эксперимента была получена оценка максимальной массы полезной нагрузки, которая может быть выведена носителем на заданную орбиту с вероятностью не меньшей заданного порога.

Введение

С 2003 года Институт математики и механики им. Н.Н.Красовского УрО РАН (ИММ) активно сотрудничает с НПО автоматики им. акад. Н.А.Семихатова (г.Екатеринбург) (НПОА). В рамках этого сотрудничества решается задача оптимального выведения ракеты-носителя (РН) на заданную околоземную эллиптическую орбиту в условиях случайных возмущений параметров. Такая задача исследуется на базе математической модели управляемого движения РН, которая описывается нелинейной динамической системой. В качестве управления используются угловые скорости изменения углов тангажа и рысканья. Эти углы определяют угловую ориентацию строительной оси РН.

В работе рассматривается ситуация, когда параметры РН и термодинамические характеристики атмосферы математически описываются нормально-распределенными случайными величинами с известными средними E и среднеквадратическими отклонениями . Задача заключается в построении оценки максимальной массы полезной нагрузки, которая может быть выведена носителем на заданную орбиту с вероятностью не меньшей заданного порога .

Математическая модель управляемого движения ракеты-носителя

Уравнения движения центра масс РН в инерциальной стартовой системе координат от момента старта до момента выхода на заданную орбиту [1] могут быть записаны в следующем компактном виде:

где ,  - координаты и скорости центра масс РН;  - масса РН;  - расхода массы;  - ускорение (задается суммой составляющих, определяемых реактивными, аэродинамическими и гравитационными силами);  - углы тангажа и рысканья;  - момент начала движения РН;  - момент выхода РН на заданную орбиту.

В качестве управляющих параметров выступают скорости и изменения углов и . Удовлетворяют ограничениям

.

Орбита, на которую выводится РН, определяется следующими параметрами (параметры оскулирующей орбиты [1]): наклонение плоскости орбиты , долгота восходящего узла , минимальная высота орбиты , максимальная высота орбиты , аргумент перигея .

В рассматриваемой задаче момент времени выхода РН на заданную орбиту не фиксирован.

Вывод максимальной массы полезной нагрузки на заданную орбиту

Известно [2], что задача максимизации выводимой на заданную орбиту массы M полезной нагрузки может быть сведена к задаче минимизации момента выхода РН на заданную орбиту с фазовыми ограничениями, то есть задаче оптимального быстродействия с терминальными ограничениями:

при ограничениях

Здесь

где , , , ,  - заданные значения параметров орбиты, , , , , - допустимые отклонения от этих параметров.

В исследуемой задаче могут быть рассмотрены две группы параметров. Параметры атмосферы (термодинамические характеристики атмосферы) - температура, плотность, давление воздуха; составляющие скорости систематического ветра. И параметры РН: массы его основных конструктивных блоков (сухие массы трёх ступеней); массы запасов топлива на каждой ступени; расход топлива на каждой ступени. В данной работе исследовались только случайные возмущения параметров РН.

Содержательно постановка задачи может быть сформулирована следующим образом. На заданную орбиту в момент выводится только последняя ступень РН, на которой находится полезная нагрузка и остатки топлива этой ступени. За счёт уменьшения запасов топлива на последней ступени можно увеличить массу выводимой на орбиту полезной нагрузки. Задача заключается в том, что для заданного порога вероятности выхода РН на орбиту требуется определить верхнюю оценку дополнительной массы, на которую может быть увеличена масса выводимой полезной нагрузки.

Оценка максимального приращения к массе полезной нагрузки, выводимой на орбиту с заданной вероятностью

Обозначим через математическое ожидание массы полезной нагрузки и через - искомую добавку к Остальные параметры РН, перечисленные выше, будем рассматривать как нормально распределенные случайные величины с известными математическими ожиданиями и СКО. Обозначим сухую массу третьей ступени через . Тогда выводимая на орбиту за время масса РН также является случайной величиной, которая не может быть меньше суммы сухой массы третьей ступени и массы полезной нагрузки :

Отсюда для приращения к массе имеем оценку сверху:

Пусть - функция распределения случайной величины . Поскольку, чем больше масса РН, тем меньше вероятность вывода её на орбиту, то разумно положить . Случайная величина распределена по известному нормальному закону, поэтому задача определения максимальной полезной нагрузки при заданном уровне вероятности вывода её на орбиту сводится к вычислению -квантили распределения для Искомая оценка максимальной добавки будет равна:

Здесь - -квантиль нормального распределения случайной величины , вычисляемый известным образом [3].

Рассмотрим задачу об оценке -квантиля неизвестного распределения . В данной работе эта задача решается с помощью статистической оценки , полученной на основе объёмного вычислительного эксперимента с использованием реальных данных. Эксперимент проводился на многопроцессорном вычислителе кластерного типа «Уран». Оценка для проводилась на выборке объёмом около 440000 с использованием алгоритма стохастической аппроксимации [3].

На основе проведенного эксперимента было получено приближенное значение величины максимального приращения к массе кг полезной нагрузки, выводимой на заданную орбиту с вероятностью не ниже :

кг.

Заключение

полезный нагрузка ракета носитель

Рассмотренная в работе методика была реализована в рамках крупномасштабного численного эксперимента с использованием реальных данных. Результаты численного моделирования показали, что учёт случайных возмущений параметров РН позволяет получить значимую оценку для максимального приращения к массе полезной нагрузки, выводимой на орбиту с вероятностью не ниже заданной. Планируется продолжить исследование влияния параметров атмосферы на максимальное приращение к массе полезной нагрузки, выводимой на орбиту с вероятностью не ниже заданной.

Литература

Охоцимский Д.Е, Сихарулидзе Ю.Г. Основы механики космического полета. М.: Наука, 1990. 448 с.

Думшева Т.Д., Костоусов В.Б., Костоусова Е.К., Починский В.И. Исследование задачи оптимального вывода полезной нагрузки на заданную эллиптическую орбиту// Труды Института математики и механики. УрО РАН. 2010. Т.16. №5. C.57-65.

Кибзун А.И., Кан Ю.С. Задачи стохастического программирования с вероятностными критериями. М.: Физматлит, 2009.