Условия ограниченности анизотропийной нормы дескрипторной системы с нецентрированными возмущениями
О.Г. Андрианова
В данной работе рассматриваются дескрипторные системы с нецентрированным случайным внешним возмущением, описанным в терминах анизотропийной теории. Для таких систем ставится задача получения условий ограниченности анизотропийной нормы. Показано, что решение данной задачи связано с разрешимостью дискретного обобщенного алгебраического уравнения Риккати при ограничениях в виде линейных матричных неравенств.
Дескрипторные системы, описываемые не только дифференциальными (или разностными) уравнениями, но и алгебраическими, достаточно сильно отличаются от обыкновенных систем управления [2,8]. Для решения задач анализа и синтеза для таких систем приходится учитывать особенность их описания, связанную с наличием вырожденной матрицы в левой части системы. Эта особенность приводит к изменению уравнений, отвечающих за решение соответствующей задачи.
В анизотропийной теории управления в качестве внешних возмущений, действующих на систему, принимаются последовательности гауссовских случайных векторов с ограниченной средней анизотропией [1]. Классическим считается случай центрированных последовательностей, соответствующий наихудшему внешнему возмущению с точки зрения наибольшего значения функционала, описывающего качество вход-выходного процесса и называемого анизотропийной нормой. Случай ненулевого математического ожидания векторов входной последовательности менее консервативен, и ему соответствует меньшее значение функционала качества [3]. При таком возмущении анизотропийная норма передаточной функции системы оказывается всегда меньше анизотропийной нормы этой же системы при центрированном возмущении. Это значит, что условие ограниченности анизотропийной нормы системы некоторым числом г в случае центрированного возмущения автоматически влечет за собой ее ограниченность в случае нецентрированного возмущения с тем же уровнем ограничения на среднюю анизотропию (если такое ограничение справедливо).
Тем не менее, при таком подходе множество ограничений, соответствующих решению задачи, сильно заужено. Как следствие, теряется часть решений. Поэтому представляет интерес самостоятельное решение задачи получения условий ограниченности анизотропийной нормы дескрипторной системы с нецентрированным внешним возмущением.
Постановка и решение задачи
Для описания динамики объекта, содержащего ограничения нединамического типа, используют дескрипторные системы вида [2]
(1)
где - вектор состояния, - вектор входных возмущений, - выход системы в момент времени , матрицы имеют соответствующие размерности и считаются известными, причем , т.е. исходная система не может быть сведена к обыкновенной с помощью невырожденной замены переменных . С описанной системой будем отождествлять передаточную функцию
Для такой передаточной функции - и -нормы определяются соответственно как
.
Дескрипторную систему называют допустимой, если она является регулярной (т.е. ), причинной (т.е. ) и устойчивой (т.е. ).
Сформулируем требования, предъявляемые к возмущению, действующему на систему. В теории анизотропийного управления в качестве допустимых возмущений рассматриваются последовательности гауссовских случайных векторов с ограниченным уровнем средней анизотропии, определяющей «цветность» сигнала. Приведем более строгое определение [9,10].
Пусть - случайный m-мерный вектор, имеющий нормальное распределение , где - принимаемое им среднее значение, а - его ковариационная матрица. В случае если распределение неизвестно или известно неточно, разумно ввести некоторую функцию, количественно определяющую, к какому классу относится данный случайный вектор. Относительная энтропия
является одной из таких функций и количественно определяет различие между случайным вектором w с плотностью распределения вероятности и эталонным случайным вектором v, имеющим плотность распределения вероятности
с нулевым средним значением и скалярной ковариационной матрицей .
Анизотропией вектора w называют минимальное значение относительной энтропии по всем значениям параметра :
. (2)
Определение (2) схоже с классическим определением расстояния до множества .
Для бесконечной последовательности вводится понятие средней анизотропии, определяемой как
,
где - расширенный вектор последовательности.
Для системы (1) анизотропийная норма вводится как супремум отношения стохастических мощностных норм соответственно сигналов на выходе и на входе системы, и может быть представлена в виде
, (3)
где P - передаточная функция так называемого формирующего фильтра, т.е. линейной системы, генерирующей возмущения W из гауссовского белого шума и некоторой детерминированной составляющей, M и F - средние значения векторов входной и выходной последовательностей при .
Наша задача состоит в том, чтобы найти условия ограниченности анизотропийной нормы системы (3) заданным числом для класса нецентрированных возмущений, удовлетворяющих неравенству . Следующая теорема, базирующаяся на результатах работ [4,5,6], дает ответ на данный вопрос.
Теорема. Пусть - допустимая дескрипторная система (1) с нецентрированной последовательностью в качестве входа, причем известен модуль математического ожидания на стационарном режиме, -норма фильтра G, а также ограничение на среднюю анизотропию последовательности. Тогда анизотропийная норма системы (3) ограничена сверху некоторым известным числом , т.е. , если существует пара , где матрица удовлетворяет линейным неравенствам и
,
а параметр
удовлетворяет неравенству
. (4)
Доказательство. Условия леммы 2.2 из [4] позволяют утверждать, что выполнено, если существует пара системы неравенств
.
В силу того, что матрица является положительно определенной, верно, что
.
Разделив обе части последнего неравенства на , а также обозначив и , получим
.
Следующая цепочка выражений позволяет проследить появление неравенства :
,
где . Умножая полученное неравенство на и учитывая обозначение, получим
,
анизотропийный норма терапия ограниченность
что и требовалось доказать.
Замечание. Важной особенностью приведенной теоремы является то, что условия ограниченности анизотропийной нормы имеют очень удобный вид. Как следствие, можно поставить задачу синтеза анизотропийного регулятора, которая будет решена стандартными методами выпуклой оптимизации [7].
Заключение
Для линейных дискретных дескрипторных систем приведены условия ограниченности анизотропийной нормы некоторым пороговым значением. Показано, что эти условия выражаются в терминах разрешимости системы Риккати-подобных неравенств, задающих выпуклое множество.
Литература
1. Владимиров, И.Г. Анизотропия сигналов и энтропия линейных стационарных систем // И.Г.Владимиров, А.П.Курдюков, А.В.Семенов. - ДАН. 1995.Т. 342. № 5, С. 583-585.
2. Белов, А.А. Синтез анизотропийных регуляторов для дескрипторных систем: Дис. канд. физ.-мат. наук. М., 2011. 90 с.
3. Кустов, А.Ю. Задачи анализа и синтеза в анизотропийной теории управления при ненулевом математическом ожидании внешнего возмущения: Дис. канд. физ.-мат. наук. М., 2014. 109 с.
4. Чайковский, М.М. Синтез субоптимального анизотропийного стохастического робастного управления методами выпуклой оптимизации: Дис. док. техн. наук. М., 2012. 193 с.
5. Andrianova O., Belov A., Kustov A., Kurdyukov A. Anisotropy-Based Analysis for Descriptor Systems with Nonzero-Mean Input Signals // Proceedings of the 13th European Control Conference. Strasbourg, France, 2013. P. 430-435.
6. Belov A., Andrianova O. Computation of Anisotropic Norm for Descriptor Systems Using Convex Optimization // Proceedings of the 19th International Conference on Process Control. Љtrbskй Pleso, Slovakia, 2013. P. 173-178.
7. Ben-Tal A., Nemirovski A. Lectures on Modern Convex Optimization // MPS-SIAM Series on Optimization, SIAM, Philadelphia, 2001.
8. Dai L. Singular Control Systems, Lecture Notes in Control and Information Sciences // N. Y.: Springer-Verlag, 1989.
9. Kurdyukov A., Kustov A., Tchaikovsky M., Karny M. The Concept of Mean Anisotropy of Signals with Nonzero Mean // Proceedings of the 19th International Conference on Process Control. Љtrbskй Pleso, Slovakia, 2013. P. 37-41.
10. Kustov A. Anisotropy-Based Analysis and Synthesis Problems for Input Disturbances with Nonzero Mean // Proceedings of the 15th International Carpathian Control Conference. Velke Karlovice, Czech Republic, 2014. P. 291-295.