Курсовая работа (т): Методы сглаживания временных рядов в изучении динамики производственных показателей (на примере объема выпуска продукции)

Экспоненциальная форма тренда:

(3)

где k - темп изменения в разах; e - константа тренда.

Если k > 1, экспоненциальный тренд выражает тенденцию ускоренного и все более ускоряющегося возрастания уровней. При росте по экспоненте абсолютный прирост пропорционален достигнутому уровню. Так росло население Земли в эпоху «демографического взрыва» в XX столетии.

При k< 1 экспоненциальный тренд означает тенденцию постоянно все более замедляющегося роста уровней динамического ряда.

Логарифмическая форма тренда:

= а + b log(t)(4)

Логарифмический тренд пригоден для отображения тенденции замедляющегося роста уровней при отсутствии предельного возможного значения.

Для определения параметров уравнения тренда применяют метод наименьших квадратов (МНК). Применение МНК для определения параметров линейного тренда ye = at + b дает систему двух линейных уравнений, решение которой выбирается таким образом, чтобы Σ t = 0.

В рядах с нечетным числом членов это выполняется при условии, что для центрального члена ряда t = 0 и вправо t - +1, +2, +3..., а влево: -1, -2, -3.

1.3 Использование метода сглаживания временных рядов в изучении динамики выпуска продукции

Из группы методов скользящего среднего самым простым является метод простого скользящего среднего по n-узлам. В этом методе среднее фиксированного числа n-последних наблюдений используется для оценки следующего значения уровня ряда.

Значение прогноза, полученного методом простого скользящего среднего, всегда меньше фактического значения - если исходные данные монотонно возрастают, и наоборот больше фактического значения - если исходные данные монотонно убывают. Поэтому с помощью простого скользящего среднего нельзя получить точных прогнозов. Этот метод лучше всего подходит для данных с небольшими случайными отклонениями от некоторого постоянного или медленно меняющегося значения.

Метод простого скользящего среднего имеет два недостатка:

возникает в результате того, что при вычислении прогнозируемого значения самое последнее наблюдение имеет такой же вес (значимость), как и предыдущее, т.е. присвоение равного веса, противоречит интуитивному представлению о том, что во многих случаях последние данные могут больше сказать о том, что произойдет в ближайшем будущем, чем предыдущие.

необходимо хранить большой объем информации.

Метод взвешенного скользящего среднего в основе которого лежит идея, что более поздние данные важнее более старых:

Ỹt= α0Υt+ α1Υt+1 +α2Υt+2(5)

(1/6, 2/6, 3/6) или (2/10, 3/10, 5/10) Во всех случаях α убывают, а их сумма равна 1.

Метод скользящей средней основан на свойстве средней погашать случайные отклонения от общей закономерности.

Расчет скользящей средней осуществляется по средней арифметической простой из заданного числа уровней ряда, с отбрасыванием, при вычислении каждой новой средней, предыдущего уровня и присоединением следующего. Сглаживание методом простой скользящей средней заключается в том, что вычисляется средний уровень из 3, 5, 7 и т.д. уровней.

В результате, расчет средней, как бы, скользит от начала ряда динамики к его концу.

При нечетном шаге каждая вычисленная скользящая средняя соответствует реальному интервалу (моменту) времени, находящемуся в середине шага (интервала), а число сглаженных уровней, меньше первоначального числа уровней на величину шага скользящей средней, уменьшенного на единицу.

Например, формула для расчета 5-месячной скользящей средней будет выглядеть следующим образом:

(6)

Если шаг скользящей средней выражен четным числом, то полученные скользящие средние центрируют. Операция центрирования заключается в повторном скольжении с шагом, равным двум. Число уровней сглаженного ряда будет меньше на величину шага скользящей средней.

(7)

Определение интервала сглаживания (числа входящих в него уровней) зависит:

если необходимо сгладить беспорядочные колебания, то интервал сглаживания берут большим (до 5-7 уровней);

если же есть необходимость сохранить периодически повторяющиеся колебания, то интервал сглаживания уменьшают до 3 уровней.

Пример сглаживания ряда методом трехмесячной скользящей средней представлен в приложении 1.

В приложении 2 представлен пример сглаживания ряда методом четырехмесячной скользящей средней.

2. Расчетная часть

Задание 1

Имеются следующие выборочные данные за отчётный период по предприятиям одной из финансово-промышленных групп (выборка 10%-ная, механическая), млн. руб.:

По исходным данным: 1. Постройте статистический ряд распределения предприятий по признаку - среднегодовая стоимость основных производственных фондов, образовав пять групп с равными интервалами. 2. Графическим методом и путём расчётов определите значения моды и медианы полученного ряда распределения. 3. Рассчитайте характеристики интервального ряда распределения: среднюю арифметическую, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации. Сделайте выводы по результатам выполнения пунктов 1, 2, 3 задания. Вычислите среднюю арифметическую по исходным данным, сравните её с аналогичным показателем, рассчитанным в п. 3 для интервального ряда распределения. Объясните причину их расхождения.

Решение

Величина равного интервала по среднегодовой стоимости основных производственных фондов:

 млн. руб.

где хmax и xmin максимальное и минимальное значение признака, n - число групп.

Таблица 1 - Распределение предприятий по среднегодовой стоимости основных производственных фондов

Построим ряд распределения предприятий по среднесписочной численности работников (табл. 2).

Таблица 2 - Ряд распределение предприятий по среднегодовой стоимости основных производственных фондов

Распределение предприятий произошло неравномерно, в наибольшую по составу группу вошло 10 предприятий, т.е. более 33,3% предприятий совокупности со среднегодовой стоимостью ОПФ от 60 до 80 млн. руб., а в наименьшую по составу группу вошло всего одно предприятий, т.е. 3,3% предприятий совокупности со среднегодовой стоимостью ОПФ более 120 млн. руб.

Представим график распределения предприятий по среднегодовой стоимости основных производственных фондов, определим значения моды (рис. 1) и медианы (рис. 2).

Рис. 1 - Гистограмма и полигон распределения предприятий по среднегодовой стоимости ОПФ

Мода:

 млн. руб.

Значение моды, равное 74,3 млн. руб. показывает, что в большинстве предприятий среднегодовая стоимость ОПФ составляет 74,3 млн. руб.

Медиана:

 млн. руб.

Значение медианы составляет 80 млн. руб., следовательно, половина предприятий со среднегодовой стоимостью ОПФ до 80 млн. руб., а половина - более 80 млн. руб.

Рис. 2 - Кумулята распределения предприятий по среднегодовой стоимости ОПФ

Для расчета характеристик интервального ряда распределения предприятий составим расчетную таблицу (табл.3).

Таблица 3 - Таблица для определения характеристик ряда распределения

Средняя арифметическая:

 млн. руб.

Дисперсия:

Среднее квадратическое отклонение:

 млн. руб.

Коэффициент вариации:

Значение средней арифметической по исходным данным:

 млн. руб.

Произведенные расчеты позволяют сделать следующие выводы: среднегодовая стоимость основных производственных фондов в рассматриваемой совокупности в среднем составляет 82 млн. руб., в большинстве предприятий данный показатель варьирует от 60,3 до 103,7 млн. руб. Совокупность является однородной, об этом говорит значение коэффициента вариации (26,4%). Значение средней стоимости основных производственных фондов по исходным данным и рассчитанное в интервальном ряду распределения одинаково - 82,0 млн. руб., хотя в интервальном ряду распределения вариантами являются не индивидуальные значения показателя, а средние по каждой группе предприятий.

Задание 2

По исходным данным с использованием результатов задания 1:

. Установите наличие и характер корреляционной связи между признаками среднегодовая стоимость основных производственных фондов и объемом выпуска продукции используя метод аналитической группировки.

. Оцените силу и тесноту корреляционной связи между названными признаками, используя коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение.

. Оцените статистическую значимость показателя силы связи.

Сделайте выводы по результатам выполнения задания.

. Для установления наличия и характера связи между заданными показателями произведем аналитическую группировку, образовав пять групп с равными интервалами.

Таблица 4 - Распределение предприятий по среднегодовой стоимости ОПФ

Таблица 5 - Зависимость выпуска продукции от среднегодовой стоимости основных производственных фондов

Данные аналитической группировки показывают, что увеличение факторного признака сопровождается увеличением результативного признака, значит, между изучаемыми признаками существует прямая связь.

Изменение от пятой к первой группе в 2,1 раза среднего значения выпуска продукции обусловлено изменением среднегодовой стоимости ОПФ (в 2,8 раза), следовательно, связь между изучаемыми признаками корреляционная. Для установления наличия и характера связи между среднегодовой стоимостью основных производственных фондов и объемом выпуска продукции построим корреляционную таблицу зависимости.

 млн. руб.

Таблица 6 - Ряд распределения предприятий по объему выпуска продукции

Составим корреляционную таблицу зависимости объема выпуска продукции от среднегодовой стоимости основных производственных фондов.

Таблица 7 - Корреляционная таблица зависимости объема выпуска продукции от среднегодовой стоимости основных производственных фондов

Направление изменения факторного и результативного признаков совпадают, т.е. с увеличением среднегодовой стоимости ОПФ наблюдается рост объема выпуска продукции, а так же характер распределение частот по диагонали корреляционной таблицы, проведенной из левого верхнего угла в правый нижний, свидетельствуют о наличии прямой и тесной корреляционной связи между изучаемыми признаками.

Составим расчетную таблицу для нахождения межгрупповой и общей дисперсии (табл. 8, 9).

Таблица 8 - Таблица для нахождения межгрупповой дисперсии

Межгрупповая дисперсия:

Таблица 9 -Таблица для расчета общей дисперсии результативного признака

Определи значение общей дисперсии результативного признака:

Далее определим эмпирическое корреляционное отношение:

Значение коэффициента детерминации составит:

.

Выводы: эмпирическое корреляционное отношение свидетельствует о сильной связи между среднегодовой стоимостью основных производственных фондов и выпуском продукции, вариация выпуска продукции на 92,1% происходит под влиянием вариации среднегодовой стоимости основных производственных фондов, а на 7,9% под влиянием прочих неучтенных факторов.критерий Фишера:

Так как табличное значение F-критерий с уровнем значимости 0,05 и числом степеней свободы (1), (28) равно 4,2, то Fэ>Fт, следовательно, силу связи можно признать статистически значимой.

Задание 3

По результатам выполнения задания 1 с вероятностью 0,954 определите:

. Ошибку выборки среднего уровня среднегодовой стоимости ОПФ и границы, в которых будет находиться средний уровень среднегодовой стоимости ОПФ для генеральной совокупности предприятий.

. Ошибку выборки доли предприятий с уровнем среднегодовой стоимости ОПФ 100,00 млн. руб. и более, а также границы, в которых будет находиться генеральная доля.

Решение

Ошибка выборки среднего уровня среднегодовой стоимости ОПФ:

 млн. руб.

Границы, в которых будет находиться средний уровень среднегодовой стоимости ОПФ для генеральной совокупности предприятий:

,0 - 7,50 ≤ ≤ 82,0 + 7,50

,50 ≤ ≤ 89,50 млн. руб.

Выборочная доля предприятий с уровнем среднегодовой стоимости ОПФ 100,00 млн. руб. и более:

Ошибка выборки доли предприятий с уровнем среднегодовой стоимости ОПФ 100,00 млн. руб. и более:

Границы, в которых будет находиться генеральная доля:

,233 - 0,147 ≤ р ≤ 0,233 + 0,147

,087 ≤ р ≤ 0,380

С вероятностью 0,954 можно утверждать, что в рассматриваемой совокупности средний уровень среднегодовой стоимости ОПФ находится в пределах от 74,5 до 89,5 млн. руб., а доля предприятий с уровнем среднегодовой стоимости ОПФ 100,00 млн. руб. и более находится в пределах от 8,7% до 38%.

Задание 4

Имеются следующие условные данные по предприятию:

. Проведите сглаживание ряда динамики выпуска продукции, применяя трёхчленную скользящую среднюю.

. На основе выровненных данных построить эмпирическую кривую и определить тенденцию развития ряда. Сделайте выводы.

Решение

Осуществим сглаживание ряда динамики выпуска продукции.

Таблица 10 - Скользящая средняя ряда динамики выпуска продукции

На основе выровненных данных построим эмпирическую кривую (рис. 3).

Рис. 3 - Фактические и выровненные уровни ряда динамики выпуска продукции

В результате выравнивания уровней ряда динамики, общая тенденция выступает отчетливее: рост выпуска продукции предприятия отмечен до июля месяца, далее до октября включительно отмечается снижение и далее вновь рост.

Однако стоит отметить, заданный способ сглаживания ряда динамики обладает недостатком, т.е. полученные средние не дают теоретических закономерностей ряда, в основе которых лежала бы математически выраженная закономерность.

3. Аналитическая часть

.1 Постановка задачи

динамика ряд продукция выпуск

В аналитической части работы проведем анализ динамики выпуска продукции ООО «Прогресс» за 2003-2012 гг.

Для этого произведем расчет следующих показателей: абсолютный прирост; темп роста и прироста; абсолютное значение 1% прироста.

С целью обобщения показателей динамики произведем расчет средних показателей: средний абсолютный прирост; средний темп роста и средний темп прироста. С целью выявления основной тенденции проведем аналитическое выравнивание.

Таблица 11 - Динамика выпуска продукции ООО "Прогресс" за 2003-2012 гг.

3.2 Методика решения задачи

Расчет показателей анализа ряда динамики выпуска продукции ООО «Прогресс» за 2003-2012 гг. осуществим по формулам, представим в таблице 2.

Обозначения: у1 - уровень первого периода; уi - уровень сравниваемого периода; yi-1 - уровень предыдущего периода; yn - уровень последнего периода; n - число уровней динамики; yt - уровни, освобожденные от колебаний, выровненные по прямой; а и b - параметры уравнения; t- показатель времени.

3.3 Технология выполнения компьютерных расчетов

Статистический анализ динамики выпуска продукции ООО "Прогресс" за 2003-2012 гг. выполнен с применением пакета прикладных программ обработки электронных таблиц MS Excel в среде Windows.

Исходные данные (табл. 1) в формате Excel:

Шаблон расчета показателей динамики (табл. 3) в формате Excel:

Результаты расчета показателей динамики в формате Excel:

Шаблон расчета параметров уравнения (табл. 4) в формате Excel:

Результаты расчета параметров уравнения в формате Excel:

Рис. 4 - Фактические и выравненные уровни выпуска продукции ООО "Прогресс" за 2003-2012 гг.

.4 Анализ результатов статистических компьютерных расчетов

Результаты проведенных расчетов позволяют сделать следующие выводы:

За десять лет объем выпуска продукции в ООО "Прогресс вырос на 17,1%, что в абсолютном выражении составляет 584 тыс. руб.

В течение рассматриваемого периода в ряду динамики определенной тенденции не наблюдается, т.е. отмечается как рост, так и снижение объема выпуска продукции. В среднем за год выпуск продукции увеличивался на 64,9 тыс. руб. или на 1,8%.

С помощью аналитического выравнивания выявлена тенденция роста выпуска продукции в организации.

Полученное уравнение  показывает, что в среднем за год выпуск продукции в ООО «Прогресс» увеличивается на 99,5 тыс. руб. Графическое изображение динамики наглядно демонстрирует рост этого показателя (рис. 4).

Заключение

По результатам изучения теоретических аспектов темы исследования можно отметить, что одной из важнейших задач статистики является определение в рядах динамики общей тенденции развития явления. В некоторых случаях закономерность изменения явления, общая тенденция его развития явно и отчетливо отражаются уровнями динамического ряда (уровни на изучаемом периоде непрерывно растут или непрерывно снижаются).

Однако часто приходится встречаться с такими рядами динамики, в которых уровни ряда претерпевают самые различные изменения (то возрастают, то убывают) и общая тенденция развития неясна.

Выявление общей тенденции ряда динамики можно произвести путем сглаживания ряда динамики с помощью метода скользящей средней. Сущность этого приема состоит в том, что по исходным уровням ряда (эмпирическим данным) определяют расчетные (теоретические) уровни. При этом посредством осреднения эмпирических данных индивидуальные колебания погашаются и общая тенденция развития явления выражается в виде некоторой плавной линии (теоретические уровни).

Значительно более совершенным приемом изучения общей тенденции в рядах динамики является аналитическое выравнивание. При изучении общей тенденции методом аналитического выравнивания исходят из того, что изменения уровней ряда динамики могут быть с той или иной степенью точности приближения выражены усредненно с помощью определенных математических функций.

В ходе решения практических заданий были получены следующие результаты: среднегодовая стоимость основных производственных фондов в рассматриваемой совокупности в среднем составляет 82 млн. руб., в большинстве предприятий данный показатель варьирует от 60,3 до 103,7 млн. руб. Совокупность является однородной, об этом говорит значение коэффициента вариации (26,4%).

Эмпирическое корреляционное отношение свидетельствует о сильной связи между среднегодовой стоимостью основных производственных фондов и выпуском продукции, вариация выпуска продукции на 92,1% происходит под влиянием вариации среднегодовой стоимости основных производственных фондов, а на 7,9% под влиянием прочих неучтенных факторов.

С вероятностью 0,954 можно утверждать, что в рассматриваемой совокупности средний уровень среднегодовой стоимости ОПФ находится в пределах от 74,5 до 89,5 млн. руб., а доля предприятий с уровнем среднегодовой стоимости ОПФ 100,00 млн. руб. и более находится в пределах от 8,7% до 38%. В результате выравнивания уровней ряда динамики, общая тенденция выступает отчетливее: рост выпуска продукции предприятия отмечен до июля месяца, далее до октября включительно отмечается снижение и далее вновь рост. Однако стоит отметить, заданный способ сглаживания ряда динамики обладает недостатком, т.е. полученные средние не дают теоретических закономерностей ряда, в основе которых лежала бы математически выраженная закономерность. По результатам выполнения исследования проведенного в аналитической части работы можно отметить, что за период 2003-2012 гг. выпуск продукции в ООО «Прогресс» вырос на 17,1%, что в абсолютном выражении составляет 584 тыс. руб. В течение рассматриваемого периода в ряду динамики определенной тенденции не выявлено, т.е. отмечается как рост, так и снижение объема выпуска продукции. В среднем за год объем выпуска продукции увеличивался на 64,9 тыс. руб. или на 1,8%. С помощью аналитического выравнивания выявлена тенденция роста, полученное уравнение показывает, что в среднем за год выпуск продукции увеличивается на 99,5 тыс. руб.

Список литературы

1.       Власов М.П. Статистика. - Ростов-на-Дону: «Феникс», 2010.

.        Гусаров В.М. Статистика: Учеб. Пособие для вузов. - М.: - ЮНИТИ-ДАНА, 2008.

.        Ефимова М.Р., Петрова Е.В., Румянцев В.Н. Общая теория статистики: учебник. М.: ИНФРА-М, 2010.

.        Салин В.Н., Шпаковская Е.П. Социально-экономическая статистика: учебник. - М.: Юристъ, 2008.

.        Социально-экономическая статистика: учебник / под ред. М.Р. Ефимовой. М.: Высшее образование : Юрайт, 2009.

.        Социально-экономическая статистика: Практикум: учебное пособие / Под ред. В.Н. Салина, Е.П. Шпаковской. - М.: Финансы и статистика, 2009.

.        Статистика: учебник / под ред. С.А. Орехова.М.: Эксмо, 2010.

.        Статистика: учебное пособие / Багат А.В., Конкина М.М., Симчера В.М. и др.; под ред. В.М. Симчеры. - М.: Финансы и статистика, 2008.

.        Статистика: учебник / под ред. И.И. Елисеевой. - М.: ТК Велби: Проспект, 2010.

.        Теория статистики: учебник / под ред. проф. Г.Л. Громыко. - М.: ИНФРА-М, 2010.

.        Теория статистики: учебник / под ред. проф. Р.А. Шмойловой. - М.: Финансы и статистика, 2011.

.        #"704809.files/image048.gif">

Рис. 5

Для внесения в текст КР найденного на сайте статистического материала следует использовать режим копирования Print Screen.

Рис. 6

На странице кафедры сайта института для ряда тем имеются методические рекомендации по выполнению теоретической части КР, разработанные применительно к конкретным темам.

Если тема КР студента входит в список этих тем, то студен должен руководствоваться не общими требованиями, а конкретизированными для данной темы, и именно их представить в ПРИЛОЖЕНИИ к КР.