Материал: Лекція № 4. Елементи АнГеом

і

cos

n

n

A A B B

.

(3.42)

1

2

1

2

1

2

n

n

2

B

2

A

2

B

2

1

2

A

1

1

2

2

Якщо прямі l1 і l2 паралельні, то кут

та напрямні вектори

і нормалі

паралельні. Отже, отримаємо такі умови паралельності прямих

k1 k2

або

m1

n1

або

A1

B1

(3.43)

m2

A2

B2

n2

Якщо ж прямі перпендикулярні,

то кут

, при якому tg

не існує, а

2

cos 0 .

tg

З (

3.40

) маємо, що

не існує,

якщо знаменник правої частини

дорівнює

нулю 1

k1 k2 0

, а з (

3.41

) і (

3.42

) отримуємо,

що

чисельники

k2

1

або

s1 s2 0

або n1 n2 0

(3.44)

k

1

Приклад. Написати рівняння прямої, що проходить через точку

A 1;2

перпендикулярно до прямої, яка проходить через точки

M1

2;4 і M2

5;1 .

x 2

y 4

або

x 2

y 4

.

5 2

1

4

7

3

Приведемо це рівняння до рівняння з кутовим коефіцієнтом, для цього

виразимо з нього

y через x

. Маємо

y

3

x

10

.

7

3

З останнього рівняння

визначимо

кутовий

коефіцієнт

k1

3

.

7

Використовуючи

умову

перпендикулярності

(

3.44

),

знайдемо

кутовий

коефіцієнт шуканої прямої

k

1

7

.

Знаючи точку,

через яку проходить

2

k

3

1

пряма та її кутовий коефіцієнт, з (

3.34

) визначимо рівняння шуканої прямої

y

2

7

x 1

y

7

x

13

або

.

3

3

3

Нехай пряма l задана загальним

рівнянням

Ax By C 0 . Знайдемо

відстань від точки M

0 x0

; y0 до прямої l

(рис. 3.13).

Відстань від т.

M 0

до прямої l

дорівнює модулю проекції вектора M1M 0

на нормаль n A; B , де

M1 x1; y1 довільна точка, яка належить прямій

l :

n M

M

Ax By

Ax By

d прn M1M0

0

0

0

1

1

1

.

n

A

B

2

2

Рис. 3.13.

Оскільки т. M1 l , отже

Ax1 By1 C 0

або C Ax1 By1 . Тому