Материал: Изучение закона сохранения момента импульса c применением крутильного баллистического маятника (90
E Ek + E p = const .
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ЧАСТЬ
Крутильный баллистический маятник – тело, подвешенное на упругой нити,
совершающее колебания в горизонтальной плоскости. При отклонении тела от положения равновесия в нити за счет сил упругости возникает крутящий момент, стремящийся возвратить тело в исходное состояние:
M k y ,
k y - модуль кручения, зависящий от размеров нити и ее упругих свойств;
- угол поворота (отклонения от положения равновесия).
Если время взаимодействия «пули» и маятника намного меньше периода колебаний маятника, то его первое отклонение определяется как собственным моментом инерции, так и параметрами «пули». Такой режим работы маятника называется баллистическим.
Согласно основному закону динамики вращательного движения
M I |
d 2 |
|
|
||||||
dt2 |
|
|
|||||||
(2) |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С учетом выражения (1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
d 2 |
k y . |
||||||
|
|
|
|
|
= |
||||
dt |
2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d 2 |
|
|
|
k y |
0 . |
|||
|
|
|
|
+ |
|
|
|||
|
dt |
2 |
|
I |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
(3)
Введя обозначение |
k y |
o2 |
, получим дифференциальное уравнение |
|
I |
||||
|
|
|
||
свободных колебаний |
|
|
|
|
d 2 |
+ o2 0 . |
|||||||
|
dt |
2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Величина o называется циклической |
частотой колебаний. Период |
||||||||
свободных колебаний крутильного маятника определяется по формуле |
|||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|||
T |
|
2 |
I |
|
|||||
|
|
. |
|||||||
|
|
|
|
o |
|||||
|
|
|
|
k y |
|||||
(5)
Определение скорости полета «пули» производится по схеме, приведенной на рис.1.
m
r
R
f
Vп
mп
Рис.1
По закону сохранения проекции момента импульса на ось вращения
Ln LM .
(6)
Ln - момент импульса «пули» до взаимодействия,
|
Ln mn rvn , |
|
(7) |
где mn - масса «пули»; |
r - расстояние от нити до места контакта «пули» с |
подвижной системой; vn |
- скорость «пули». LM - момент импульса маятника |
с прилипшей к нему «пулей»
LM I1 o ,
(8)
где I1 - момент инерции маятника с «пулей»; o - начальная угловая скорость его вращения после взаимодействия.
I1 I In ,
(9)
I - момент инерции маятника без «пули», I n - момент инерции «пули».
Поскольку момент инерции маятника намного больше момента инерции «пули», можно приблизительно считать, что
I1 I .
(10) |
|
Подставляя выражения (7)-(10) в формулу (6), |
получим закон сохранения |
проекции момента импульса в виде |
|
mn rvn I o . |
(11) |
Поворот баллистического маятника происходит до тех пор, пока его кинетическая энергия
|
|
|
I 2 |
L2 |
|||
E |
|
|
o |
|
M |
|
|
k |
2 |
2I |
|||||
|
|
|
|||||
|
|
|
|
||||
не перейдет в потенциальную энергию упругой деформации нити |
|||||||
|
|
|
|
|
k |
y |
2 |
|
|
||||
|
En |
|
|
|
m ax |
. |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пренебрегая диссипацией (рассеянием) механической энергии, можно |
|||||||||||||
записать |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(mnvn r)2 |
k y m2 ax |
|
|||||
Ek En |
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2I |
|
|||
(12) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
vn |
|
|
|
Iky |
|
|
m ax . |
|
|
||||
|
mn r |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
(13)
Неизвестную величину модуля кручения k y можно найти, используя формулу (5):
|
|
|
|
2 |
|
|
. |
|
|
|
ky |
I |
|
||||||
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
T |
|
||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
||
vn |
|
2 I |
m ax . |
|
|||||
|
|
|
|||||||
|
|
Tmn r |
|
||||||
(14) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Момент инерции крутильного маятника I может быть определен как |
|
||||||||
I Io 2mg R2 , |
(15) |
||||||||
где I o - момент инерции мишеней и стержня, на котором они крепятся;
2mg - масса имеющихся на стержне дополнительных грузов;
R - расстояние от центра масс каждого из этих грузов до оси вращения.
Подставляя выражение (15) в формулу (14), получим формулу для определения скорости «пули»:
v |
|
2 |
|
Io 2mg R2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
max . |
(16) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
n |
|
T |
|
|
|
|
|
mnr |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Неизвестная величина I o |
может быть определена экспериментально по |
||||||||||||||||||
результатам измерения периодов колебаний T1 |
и T2 , полученным при разных |
||||||||||||||||||
значениях R1 и R2 : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
T1 2 |
|
|
|
I |
|
|
2m R2 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
o |
|
|
g |
|
, |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ky |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
T2 2 |
|
|
|
I |
|
2m R2 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
o |
|
|
g |
|
. |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k y |
|
|
|
|
|
|
|
Исключив из этих равенств k y , находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
2mg |
|
R2T 2 |
R2T |
2 |
|
|
|
|||||||||||
Io |
2 |
|
|
1 |
|
1 |
2 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
T 2 |
T |
2 |
|
. |
(17) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
УСТРОЙСТВО И ПРИНЦИП РАБОТЫ УСТАНОВКИ
Принцип действия маятника основан на зависимости максимального угла отклонения маятника и периода его колебаний от скорости «пули» и упругих свойств нити подвеса.
На вертикальной стойке 8 (рис. 2) крепятся два кронштейна 1. Между верхним и нижним кронштейнами на стальной проволоке 10 закреплен подвес
3, представляющий собой стальной стержень, по которому в горизонтальном направлении перемещаются два груза равной массы. На концах стержня находятся мишени 4. Между верхним и нижним кронштейнами расположен третий кронштейн, на котором крепится пусковое устройство 2, предназначенное для запуска «пули». Конец ствола пускового устройства и