Дискриминант последнего квадратного уравнения отрицателен -

Следовательно, квадратное уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что груз не достигает точки , а двигаясь из точки по наклонной плоскости вверх, в некоторый момент времени останавливается (точку остановки обозначим ), а затем скользит вниз и покидает наклонную плоскость к точке .

Определим момент времени , в который происходит остановка груза, для чего используем условие равенства нулю скорости (6) груза в момент его остановки:

Отсюда находим

Вычислим координату точки остановки

(ради интереса сложим с , получим:

т.е. тело не доходит до точки меньше, чем на 1,5 м).

Таким образом, в момент остановки при координата и скорость груза равны:

Эти условия являются начальными для движения груза по наклонной плоскости вниз.

В подтверждение того, что в момент времени начинается движение вниз, приведем следующие соображения. Хотя скорость груза в этот момент времени равна нулю, это вовсе не означает, что и ускорение равно нулю, ведь для того, чтобы в следующий момент времени появилась скорость, в данный момент должно быть направленное вниз ускорение. А наличие такого ускорения обуславливается действием направленной вниз вдоль наклонной плоскости результирующей силы, что подтверждается следующими расчетами.

Величина нормальной реакции

Сила трения, направленная вверх по наклонной плоскости

Скатывающая вниз сила

Сравнение величин скатывающей силы и препятствующей движению вниз силы трения скольжения, показывает, что результирующая сила действительно направлена вниз.

Для изучения движения груза от точки до точки покажем действующие на этом участке силы (Рис. 4.2).

Дифференциальное уравнение груза на участке имеет вид

Или, имея в виду выражение (4) для

получим:

Здесь учтено, что поскольку груз движется вниз, то сила трения скольжения направлена вдоль наклонной плоскости вверх. Данное уравнение отличается от уравнения (2) знаком проекции силы трения скольжения . Подставляя значения заданных по условию задачи величин, получаем

Интегрируем дважды.

Для определения постоянных интегрирования воспользуемся начальными условиями, т. е. значениями кинематических характеристик, при которых груз начал свое движение из точки вниз (отсчет времени начинаем заново).

Подставляя начальные условия в уравнения (10) и (11), находим:

Уравнение скорости и закон движения груза на участке ЕА с учетом найденных значений С₁ и С₂ принимают вид

Найдем время движения груза по наклонной плоскости вниз. Когда груз достигает точки , то

Получаем уравнение

откуда

Из уравнения (12) найдем величину скорости груза в точке при его отрыве от наклонной плоскости

Направление вектора скорости показано на рисунке 4.2.

Время движения груза по наклонной плоскости найдем как сумму времени движения от точки до точки остановки и времени движения груза после остановки от точки вниз до отрыва в точке :

2. Изучение движения на участке

Рассмотрим движение груза после отрыва его от наклонной плоскости (участок ). Движение происходит под действием только силы тяжести , используем систему координат (рис 4.3).

Составим дифференциальные уравнения движения груза на этом участке:

Или

Интегрируя дифференциальные уравнения дважды, получаем:

Запишем начальные условия движения груза в системе координат , время будем опять отсчитывать от нуля:

Используя начальные условия найдем постоянные интегрирования:

Таким образом, постоянные интегрирования найдены, и подставляя их значения в общее решение, получаем закон изменения проекций вектора скорости на оси координат и уравнения движения груза вдоль осей координат после отрыва:

Найдем время Т, спустя которое после отделения от наклонной плоскости груз упадет на горизонтальную плоскость, и координаты точки падения x_C и y_C.

В момент приземления груза в точку на горизонтальной плоскости координата . Подставляя это значение в уравнение (17), получим квадратное относительно Т уравнение

Корни этого квадратного уравнения имеют значения

Отрицательный корень исключаем, получим:

Координаты точки приземления могут быть вычислены подстановкой в уравнения (15) и (17) найденного времени :

Подстановкой в уравнения (14) и (16) времени определим проекции скорости груза в момент его падения на горизонтальную поверхность:

Вычислим модуль скорости груза в точке

Ответ:

· точкой отрыва груза от плоскости является точка

· времяф движения груза по наклонной плоскости до точки отрыва:

· величина скорости груза в момент отрыва:

· координаты точки приземления груза:

· время полета груза в воздухе:

· скорость груза в точке падения:

2. Подтвердим полученные результаты с помощью общих теорем динамики материальной точки.

Рассмотрим движение груза на плоскости АВ.

Найдем скорость груза в точке A. Применим теорему об изменении кинетической энергии - изменение кинетической энергии материальной точки на некотором ее перемещении равно работе сил, действующих на точку, на том же перемещении.

Вычислим работы сил, действующие на груз

.

(т.к. реакция перпендикулярна к направлению перемещения).

.

Тогда скорость в точке А равна:

Определим время движения груза на плоскости АВ. Применим теорему об изменении количества движения - изменение количества движения материальной точки за некоторый промежуток времени равно импульсу сил, действующих на точку, за тот же интервал времени.

В проекции на ось х имеем:

Найдем импульсы сил:

; ; ; .

В итоге получаем

Рассмотрим движение груза на участке АС.

Найдем скорость груза в точке С. Применим теорему об изменении кинетической энергии.

.

м/с.

.

Вычислим работы сил, действующие на груз

Тогда

.

,

м/с.

Тогда модуль скорости определится выражением

.

Определим время падения груза

.

Вычислим координаты точки падения груза

Сравним результаты расчетов. Составим таблицу.

Как видно из таблицы, результаты получились практически идентичные.

3. Построим график траектории движения груза от точки A до точки С. (1.18)

(1.20)

Это уравнение параболы.

Построим график зависимости скорости груза от времени на участке

АЕ. Используем зависимость (1.10).

4. Выясним, существует ли возможность за счет изменения только величины начальной скорости добиться того, что груз покинет плоскость АВ в точке противоположной полученной по результатам расчетов в основном задании.

Для того, чтобы груз покинул плоскость АВ в точке В, необходимо, чтобы уравнение

имело действительные корни, так как при нахождении корней данного уравнения

не имело действительных корней и груз не достиг точки В, а остановился в точке Е.

Итак

будет выполнен при условии

м/с.

Заключение

Целью работы было овладение навыками решения сложных задач по теоретической механике. Все четыре задания решены и очень подробно разъяснены, что способствовало углублению полученных ранее знаний по дисциплине, а также приобретению новых знаний. Особенно понравилась задача по динамике, своей сложностью и широтой захвата материала.

Можно констатировать, что цель работы - учебная, познавательная, - была достигнута.

Использованная литература

1. Изучение равновесия и движения механических систем. Теоретическая механика: метод. указания по выполнению курсовой работы / сост.: Ю. В. Королёв. Иркутск, 2018. 44 с.

2. Андронов В. В. Теоретическая механика, 20 лекций. Часть I-II/ М.: 2002.

3. Березкин E. H., курс теоретической механики. Издание второе, М.: 1974.

4. Березкин Е. Н. Решение задач по теоретической механике. Часть вторая. М.: 1974.

5. Тарг С. М. Краткий курс теоретической механики: Учеб. для втузов. 10-е изд., перераб. и доп. М.: Высш. шк., 1986. 416 с, ил.

6. Теоретическая механика, методические указания и контрольные задания. Под ред. профф. С. М. Тарга. М.: 1989.