Материал: Дискретная математика теория и практика

Элементы этого множества – группы, являющиеся в свою очередь множествами студентов. Но конкретный студент одной из групп уже не является элементом множества групп факультета.

Определение 1.2. Множество, элементами которого являются другие множества, называется семейством (классом).

Определение 1.3. Если все элементы данной совокупности множеств принадлежат некоторому одному множеству, то такое множество называется

универсальным множеством, или универсумом, и обозначается U.

Множество считают заданным, если о любом объекте можно сказать, принадлежит он этому множеству или не принадлежит. Множество можно

задать следующими способами:

1)перечислением всех его элементов (списком);

2)характеристическим свойством элементов множества;

3)порождающей процедурой.

Первый способ задания множеств применим только для конечных мно-

жеств, да и то при условии, что число элементов множества невелико. Если

a, b, c, d – обозначения различных объектов, то множество A этих объектов записывают так: A = {a; b; c; d}. Запись читают: «A – множество, элементы кото-

рого a, b, c, d».

Замечание 1.2. Порядок перечисления элементов множества не имеет значения. Так, множества {a; b; c; d} и {b; c; d; a} совпадают.

Вторым способом можно задавать как конечные, так и бесконечные множества. Характеристическое свойство – это такое свойство, которым обладает каждый элемент, принадлежащий множеству, и не обладает ни один элемент, который ему не принадлежит. Обозначив символом P(x) характеристическое свойство элементов множества A, будем писать: A = {x| P(x)}.

Порождающая процедура описывает способ получения элементов нового множества из уже полученных элементов или из других объектов. Тогда элементами множества считаются все объекты, которые могут быть получены с помощью этой процедуры. С помощью порождающей процедуры можно задавать множества, содержащие любое число элементов.

Пример 1.1. Определим различными способами множество M2n-1 всех нечетных чисел, не превышающих 10:

1)M2n-1 = {1, 3, 5, 7, 9};

2)M2n-1 = {2k −1 k N , k ≤ 5};

3)порождающая процедура определяется правилами:

а) 1 M2n-1;

б) если m M2n-1, то (m + 2) M2n-1, m ≤ 7.

1.2.Подмножества

Определение 1.4. Множество B называется подмножеством множества A, если каждый элемент множества B принадлежит множеству A.

7

Пример 1.2. Пусть А = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k}, а B = {c, e, g, h, j, k}.

Множество В является подмножеством множества А, поскольку каждый элемент множества В принадлежит множеству А.

Если множество B является подмножеством множества A, то говорят также, что B содержится в A или B включено в A и пишут А В. Символ называется знаком включения (точнее, нестрого включения).

Согласно данному определению подмножества каждое множество является подмножеством самого себя: ( A) А А. Кроме того, считается, что пустое множество есть подмножество любого множества A: ( A) А.

Различают два вида подмножеств множества А. Само множество А и называются несобственными подмножествами множества А. Любые подмножества множества А, отличные от А и , называются собственными подмно-

жествами множества А.

Определение 1.5. Множества A и B называются равными (пишут А = В), если они состоят из одних и тех же элементов.

Справедливо следующее утверждение, которое также можно рассматривать в качестве определения равных множеств.

Утверждение 1.1. А = В А B и В А.

Замечание 1.3. Из утверждения 1.1 вытекает способ доказательства ра-

венства двух множеств: если доказать, что каждый элемент из множества A является элементом множества B и каждый элемент из множества B является элементом множества A, то делают вывод, что А = В.

Говорят, что множество B строго включено в множество A или, подругому, А строго включает B, если В А и В ≠ А. В этом случае пишут B A.

Символ называется знаком строгого включения.

Пример 1.3. Имеют место следующие строгие включения числовых мно-

жеств: N N0 Z Q R C, I R C.

Определение 1.6. Множество всех подмножеств множества A называется его булеаном (или множеством-степенью) и обозначается через P(A) (или 2A).

Пример 1.4. Если A = {a, b, c}, то

P(A) = { , {a},{b},{c},{a, b},{b, c}, {a, c},{a, b, c}}.

1.3. Операции над множествами

Определим операции над множествами, с помощью которых можно получать из любых имеющихся двух множеств новые множества.

Определение 1.7. Объединением (суммой) A B (или A + B) множеств А и В называется множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А и В.

Таким образом, по определению, A B = {х х А или х В}.

Заметим, что в объединение двух множеств A и B могут входить элементы из A, не принадлежащие множеству B, элементы из B, не принадлежащие

8

множеству A, и элементы, принадлежащие множествам A и B одновременно. Следовательно, ( A, B) A A B и B A B.

Определение 1.8. Пересечением (произведением) A ∩ B (или A B,

или AB) множеств А и В называется множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат обоим множествам A и B одновременно.

Таким образом, по определению, A ∩ B = {х х А и х В}.

Замечание 1.4. Если A ∩ B ≠ , то говорят, что множества A и B пересе- каются. Если A ∩ B = , то в этом случае множества A и B называются непере-

секающимися.

Из определения пересечения следует, что ( A, B) А ∩ В А и А ∩ В В. Определение 1.9. Разностью А \ В множеств А и В называется множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат множеству

А и не принадлежат множеству В.

Таким образом, по определению, А \ В = {x | x А и х В}.

Замечание 1.5. Если B A, то в этом случае разность А \ В называют до-

полнением B до A.

Определим, опираясь на определения 1.7–1.9, операции симметрической разности и дополнения множества.

Определение 1.10. Симметрической разностью (кольцевой суммой)

A B (или А В) множеств А и В называется множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат одному из множеств А либо В, но не являются их общими элементами.

Таким образом, по определению,

AB = (A \ B) (B \ A) = (A B) \ (A ∩ B).

Определение 1.11. Дополнением A (или A′) множества А (до универсума U) называется множество U \ А.

Таким образом, по определению, A = U \ А = {x | x U и х А}.

Пример 1.5. Пусть U = {a, b, c, d, e, f, g, h}, A = {a, d, e, f, h}, B = {b, d, f, h}. Найти: A B, A ∩ B, A \ B, B \ A, A B, A , B .

Решение. A B = {a, b, d, e, f, h}, A ∩ B = {d, f, h}, A \ B = {a, e},

B \ A = {b} A \ B ≠ B \ A, A B = {a, b, e}, A = {b, c, g}, B = {a, c, e, g}.

Введем некоторые обобщения вышеприведенных определений. Пусть I – любое конечное или бесконечное множество индексов. Тогда объединение или пересечение произвольного семейства множеств {Ai}, i I, определяется следующим образом:

U Ai = {x x Ai , хотя бы для одного i (i I )}, I Ai = {x x Ai для всех i (i I )}.

i I i I

Если I = {1, 2, …, n}, то используются записи A1 A2 … An и

Определение 1.12. Пусть E – некоторое семейство подмножеств множества A, то есть Е = {Ei}, i I, где ( i I) Еi A. Семейство Е называется по-

9

крытием множества A, если каждый элемент множества A принадлежит хотя бы одному множеству семейства Е.

Таким образом, E = {Ei}, i I, где ( i I) Еi A – покрытие множества

A A = UEi .

i I

Пример 1.6. Пусть A = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j,k}. Выяснить, какие из следующих семейств являются покрытиями множества A:

E1 = {{a}, {c, d}, {f, g, h}, {i, j, k}}; E2 = {{i, j, k}, {e, f, g, h}, {a, b, c, d}};

E3 = {{a, f, i, k, d}, {b, c, g, h}, {d}, {e, j}};

E4 = {{c, d, e, f}, {a, b, c}, {i, j, k}, {g, k}}.

Решение. Семейства E2 и E3 – покрытия множества A, а семейства E1 и E4 не являются покрытиями множества A.

Определение 1.13. Покрытие E называется разбиением множества A, если каждый элемент множества A принадлежит в точности одному множеству семейства E.

Таким образом, E = {Ei}, i I, где ( i I) Еi A – разбиение множества

A A = Ui I Ei и Ei ∩ Ej = , если i ≠ j.

Пример 1.7. Пусть B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Выяснить, какие из следующих семейств образуют разбиения множества B:

E1 = {{1, 3, 5}, {2, 4, 6, 8}, {7, 9}}; E2 = {{5}, {2, 4, 8, 9}, {1, 6}};

E3 = {{1, 3, 7}, {4, 6, 8}, {2, 5, 6, 9}};

E4 = {{1}, {2}, {3}, {4},{5},{6},{7},{8},{9}}.

Решение. Среди перечисленных семейств только E1 и E4 образуют разбиения множества B. Семейство E2 не является разбиением множества B, так как B ≠ {5} {2, 4, 8, 9} {1,6}, а семейство E3 – так как

{4, 6, 8} ∩ {2, 5, 6, 9} ≠ .

Рассмотрим основные, наиболее важные свойства операций объединения, пересечения и дополнения над множествами.

Свойства операций над множествами

10

4. дистрибутивность:

A(B ∩ C) = (A B) ∩ (A C) (дистрибутивность относительно ∩),

A∩ (B C) = (A ∩ B) (A ∩ C) (дистрибутивность ∩ относительно );

Доказательство. Справедливость каждого из этих свойств можно доказать, используя утверждение 1.1 и замечание 1.3.

Вкачестве примера приведем доказательство дистрибутивности объединения относительно пересечения: A (B ∩ C) = (A B) ∩ (A C).

Пусть X = A (B ∩ C), Y = (A B) ∩ (A C).

Надо доказать, что множества X и Y равны, то есть (a) X Y; (b) Y X. X Y, если каждый элемент множества X принадлежит множеству Y. Пусть x A (B ∩ C). Тогда возможны два случая: (a1) x A и (a2) x B ∩ C.

Вслучае (a1) x A B и x A C; следовательно, x Y. В случае (a2)

x B и x C, поэтому x A B и x A C; отсюда x Y. Из произвольности элемента x следует, что X Y.

Предложим теперь, что y Y; то есть y (A B) ∩ (A C), тогда

y A B и y A C.

При этом если y A, то y B и y C, значит y B ∩ C; следовательно, y A (B ∩ C). Если же y A, то y A (B ∩ C) = X. Из произвольности элемента y вытекает, что Y X.

Из (a) и (b) следует равенство X = Y.

1.4. Диаграммы Эйлера – Венна

Для графического (наглядного) изображения множеств и их свойств используются диаграммы Эйлера – Венна (Леонард Эйлер (1707–1783) – швейцарский математик, механик и физик; Джон Венн (1834 – 1923) – английский логик). На них множество отождествляется с множеством точек на плоскости, лежащих внутри некоторых замкнутых кривых, например окружностей (так называемые круги Эйлера). В частности, универсальное множество U изображается множеством точек некоторого прямоугольника.

Проиллюстрируем с помощью диаграмм Эйлера – Венна введенные определения. На рисунках 1.1 – 1.5 результат выполнения операции выделен штриховкой.

11