Курсовая работа (т): Дифференциальные уравнения в частных производных

. (5.39)

В вычислениях используют дискретизацию струны : длину L разделяют на одинаковые интервалы (шаги), длина которых h (рисунок 5.1).

Рисунок 5.1. Дискретизация расчётной области

Значения функции остальных x и t можно вычислить из уравнения колебаний струны:

, (5.40)

, (5.41)

. (5.42)

В результате получаем конечно - разностный аналог уравнения (4.3)

, (5.43)

откуда для расчёта получаем явную разностную схему:

. (5.44)

Таким образом, мы получили схему, по которой можно получить значения функции для любых x и t, используя значения функции при предыдущих x и t. Схематично её шаблон представлен на рисунке 5.2:

Рисунок 5.2. Шаблон явной разностной схемы расчёта

Этот метод даёт приближённое решение (в узлах сетки), порядок точности . Для повышения точности и устойчивости счёта необходимо использовать интервалы (шаги):

h < 0,1 и  . (5.45)

Заключение

В работе рассмотрены основные понятия, классификация дифференциальных уравнений в частных производных. Изложена информация об основных уравнениях математической физики (УМФ), таких как: волновое уравнение, уравнение теплопроводности, уравнения Пуассона и Лапласа. Даны примеры задач для УМФ. Приведён пример аналитического и численного методов решения волнового уравнения.

Литература

Тихонов А. Н. Самарский А. А. Уравнения математической физики. 5-е изд. M.: Наука, 1977.

Кожевников В.В. Уравнения и методы математической физики (лекции). Университет "Дубна", 2011.

www.adetiplus.ru

www.wikipedia.org