Реферат: Анализ источников неопределенности. Тестирование по Колмогорову-Смирнову

= F(ai) - F(ai-1),                                                   (2.2)

где i=1,2,…, r.

Из n выборочных значений  случайной величины  в i-й разряд (ai-1, ai) попадает случайное число  значений

                                                   (2.3)

Тогда отношение mi /n представляет собой частоту выборочных значений в i - й разряд. Близость частот mi /n к вероятностям pi свидетельствует в пользу основной гипотезы . Заметные различия отвергают гипотезу .Случайная величина  (формула 2.4) характеризует согласованность гипотезы  с опытными данными.

                         (2.4)

Критерий  применяется в соответствии с общим правилом статистической проверки гипотез. При этом наблюдаемое значение критерия вычисляют по формуле (*-*), а критическое множество выбирают в виде полубесконечного интервала  где величину находят с помощью таблиц. Входами таблицы служат: количество степеней свободы l=r-1 (r - количество неизвестных параметров теоретической функции распределения) и уровень значимости.

Если выполняется соотношение , то говорят, что гипотеза  отвергается на уровне значимости. В противном случае она не противоречит опытным данным.

.3 Замечания

Замечание 1. Число выборочных значений , i=1., r в каждом разряде должно быть не менее 5-10. Если это условие не выполняется, рекомендуется объединять разряды.

Замечание 2. Критерий согласия  применим не только в случае, когда гипотетическая функция распределения  случайной величины  полностью определена. Если она зависит от k неизвестных параметров, т.е. имеет вид F (x…k), и параметры 1,…,k оцениваются по выборке методом максимального правдоподобия, то критерий согласия остается в силе, только входом в таблиц. служит величина l= k- r -1, где r - число неизвестных параметров теоретической функции распределения. Для нормального распределения r=2.

3. Тестирование по Колмогорову-Смирнову

В статистике, тест Колмогоров - Смирнов (К-S тест) является непараметрическим критерием для равенства непрерывных одномерных вероятностных распределений, которые можно использовать для сравнения образца с распределением вероятностей, или для сравнения двух образцов. Нуль распределение этой статистики вычисляется по нулевой гипотезе, что образцы взяты из того же распределения (в случае двух выборок) или, что выборка из опорного распределения (в случае, если один-образец). В каждом случае, распределения, рассматриваемые в рамках нулевой гипотезы являются непрерывные распределения, но в остальном ограничений.

Тест KS двух образцов является одним из наиболее полезных и общих непараметрических способов сравнения двух выборок, так как он чувствителен к различиям в обоих расположения и формы эмпирических функций распределения двух образцов.

Тест Колмогорова-Смирнова может быть изменен, чтобы использовать критерий согласования теста. В частном случае тестирование на нормальное распределение, образцы стандартизированы и по сравнению со стандартным нормальным распределением. Это эквивалентно установке среднего значения и дисперсии опорного равной распределения образца оценкам, и известно, что использование этих определить конкретный ссылочный распределение изменяет распределение нуль в тестовой статистики.

.1 Статистика Колмогорова-Смирнова

Эмпирическая функция распределения Fn для n н.о.р. наблюдений Xi определяется как:

                                                         (3.1)

где  является индикаторной функцией, равная 1, если Xi≤х и равен 0 в противном случае.

Статистика Колмогорова-Смирнова для данной функции распределения F(х) является:

                                 (3.2)

где    является грань множества расстояния.

Из теоремы Гливенко-Кантелли, если образец происходит от распределения F(х), то Dn сходится к 0 почти наверняка. Колмогоров усилил этот результат, за счет эффективного предоставления скорость этой сходимости.

На практике статистики требуется относительно большое количество точек данных, чтобы должным образом отвергнуть нулевую гипотезу.

Рисунок 3.1 - Статистика Колмогорова-Смирнова

.2 Распределение Колмогорова

Распределение Колмогорова является распределением случайной величины:

                                                         (3.3)

где B(t) является броуновским мостом.

Функция распределения из K дается [6]:

(3.4)

И форма тестовой статистики Колмогорова-Смирнова и его асимптотическое распределение при нулевой гипотезе были опубликованы Андреем Колмогоровым, в то время как таблица распределения была опубликована Николаем Смирновым.

Под нулевой гипотезой, что образец исходит от предполагаемого распределения F(х) понимается:

                               (3.5)

где B(t) является броуновским мостом.

Если F непрерывна, то при нулевой гипотезе  сходится к распределению Колмогорова, который не зависит от F. Этот результат может быть также известный как теорема Колмогорова.

Нулевая гипотеза отвергается на уровне , если:

                                            (3.6)

где Кα находится из

3.3 Тест Колмогорова-Смирнова для двух выборок

Рисунок 3.2 - Двух выборочная статистика Колмогорова-Смирнова

Тест Колмогорова-Смирнова также может быть использован для проверки отличия двух основных одномерных распределений вероятностей. В этом случае статистика Колмогорова-Смирнова выглядит так [7]:

где  и являются эмпирическими функциями распределения первого и второго образца соответственно.

Нулевая гипотеза отвергается на уровне , если [7]::

                                       (3.8)

Выводы

Риск сопровождает нас везде и всегда - на улице, на работе, дома. И, конечно, присутствует он и в бизнесе. И, так же как и в жизни, его не стоит избегать в предпринимательстве. Но тем более не стоит к нему стремиться, а наоборот, его нужно уметь просчитать и оценить. Только на основании объективных данных можно принимать какое-либо решение.

Не рискуя, предприниматель ничего не добьется. Перед тем как начинать какое-нибудь дело, заключать сделку предприниматель должен все просчитать, продумать. Он должен рассчитать прибыль от данной затеи, вероятность успеха, или другими словами рассчитать риск сделки.

Личные качества предпринимателя в итоге и определяют его склонность к риску. Некоторые из них предпочтут умеренную, но гарантированную прибыль, в то время как другие рискнут и, в случае успеха, получат прибыль в несколько раз большую, чем первая группа. Но у них всегда есть риск все потерять. В этом-то и заключается дилемма.

Поэтому можно сказать, что одна из главных задач предпринимателя - оценить риск и свести его к минимуму, чтобы получить максимальную прибыль в случае удачной сделки, дела и понести минимальные потери в случае неудачной сделки.

Риск можно снизить, распределив капитал по нескольким рисковым проектам, или, например, застраховав его.

Неопределенность - это объективное явление, которое с одной стороны является средой любой предпринимательской деятельности, с другой стороны - это причина постоянной «головной боли» любого предпринимателя. Полное исключение неопределенности, т. е. создание однозначных условий протекания бизнеса является сколь желаемым для каждого предпринимателя, столь же и невозможным. В то же время, неопределенность нельзя трактовать как исключительно негативное явление. В «мутной воде» рыночной экономики, особенно в ее еще не вполне состоявшемся положении, неопределенность может сулить дополнительные возможности, которые не были видны в самом начале инвестиционного проекта. В целом же явление неопределенности оценивается со знаком «минус» в предпринимательской деятельности.

И отсюда логичным кажется вывод: все решения должны быть предельно взвешены и продуманы. Все возможные убытки должны быть просчитаны. Риск оказаться вне дела должен быть определен заранее. И только тогда можно принять взвешенное решение, и надеяться на благополучный исход рискового дела.

Перечень ссылок

1.       Князевская Н.В. Принятие рискованных решений в экономике и бизнесе [Текст] / Н.В. Князевская, В.С. Князевский - М.: Контур, 1998. -160 с.

.        Смородинский С.С. Методы и системы принятия решений [Текст] / С.С. Смородинский, Н.В. Батин -Мн.: БГУИР, 2000. -329 с.

.        Ларичев О.Н. Теория и методы принятия решений [Текст] / О.Н. Ларичев - М.: Логос, 2006. -392 с.

.        Грабовый П.Г. Риски в современном бизнесе [Текст] / П.Г. Грабовый - М.: Финансы и статистика, 2000. -200 с.

.        Эддоус М. Методы принятия решений [Текст] / М. Эддоус, Р. Стэнсфилд - М.: ЮНИТИ, 1997. -425 с.

.        Marsaglia G, Tsang WW, Wang J Evaluating Kolmogorov’s Distribution [Текст] / Journal of Statistical Software8, 2003. - 1-4 р.

.        Peacock, J. A. Two-dimensional goodness-of-fit testing in astronomy [Текст] / J. A. Peacock - Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 1983, 615-627 p.