Материал: Larin_Anton_8383_cm_21_6

Цель работы.

Формирование практических навыков нахождения корней алгебраических и трансцендентных уравнений методом простых итераций.

Основные теоретические положения.

Метод простых итераций (метод последовательных приближений)

решения уравнения ( ) = 0 состоит в замене исходного уравнения эквивалентным ему уравнением = ( ) и построении последовательности

+1 = ( ), сходящейся при → ∞ к точному решению. Достаточные условия сходимости метода простых итераций формулируются следующей теоремой.

Теорема. Пусть функция ( ) определена и дифференцируема на [ , ],

причём все её значения ( ) [ , ]. Тогда, если существует число , такое, что | ′( )| < 1 на отрезке [ , ], то последовательность +1 = ( ), = 0,1,2, … сходится к единственному на [ , ] решению уравнения = ( ) при любом начальном значении 0 [ , ], т.е.

lim = lim ( ) = ; ( ) = 0; [ , ].

→∞ →∞

При этом если на отрезке [ , ] производная ′( ) положительна, то

| − | < 1 − | − −1|,

если φ′(x) отрицательна, то

| − | < | − −1|.

Рассмотрим один шаг итерационного процесса. Исходя из найденного на предыдущем шаге значения −1, вычисляется = ( −1). Если | − −1| >, то полагается = и выполняется очередная итерация. Если же | − −1| <, то вычисления заканчиваются и за приближенное значение корня принимается величина = . Погрешность результата вычислений зависит от знака производной ′( ): при ′( ) > 0 погрешность определения корня составляет

1−, а при ′( ) < 0 погрешность не превышает . Существование числа является условием сходимости метода в соответствии с отмеченной выше

2

теоремой. Для применения метода простых итераций определяющее значение имеет выбор функции ( ) в уравнении = ( ), эквивалентном исходному.

Функцию необходимо подбирать так, чтобы | ′( )| < 1. Это обусловливается тем, что если ′( ) < 0 на отрезке [ , ], то последовательные приближения = ( −1) будут колебаться около корня , если же ′( ) > 0, то последовательные приближения будут сходиться к корню монотонно.

Следует также помнить, что скорость сходимости последовательности { } к

корню функции тем выше, чем меньше число .

Постановка задачи.

Используя программы-функции ITER и Round из файла methods.cpp (файл заголовков metods.h), найти корень уравнения с заданной точностью методом простых итераций, исследовать скорость сходимости обусловленности метода. Порядок выполнения работы следующий:

1.Графически или аналитически отделить корень уравнения ( ) = 0.

2.Преобразовать уравнение ( ) = 0.

3.к виду = ( ) так, чтобы в некоторой окрестности [ , ] корня производная ′( ) удовлетворяла условию | ′( )| < 1. При этом следует иметь в виду, что чем меньше величина , тем быстрее последовательные приближения сходятся к корню.

4.Выбрать начальное приближение, лежащее на отрезке [ , ].

5.Составить подпрограмму для вычисления значений ( ),

предусмотрев округление вычисленных значений с точностью Delta.

6.Составить головную программу, вычисляющую корень уравнения и содержащую обращение к программам PHI и ITER и индикацию результатов.

7.Провести вычисления по программе. Исследовать скорость сходимости и обусловленность метода.

3

[a, b], на которых функция удовлетворяет начальным условиям теоремы о сходимости метода простых итераций. По графику на рис. 1 видно что корень принадлежит отрезку [0.5, 1.25] и первая производная в окрестности корня положительна.

Рисунок 1 – Локализация корня функции ( )

Метод простых итераций ( ) = 0 состоит в замене исходного уравнения эквивалентным ему уравнением = ( ). Возьмем в качестве ( ) следующую функцию: ( ) = − ( ). Найдем оптимальное значение ,

удовлетворяющее условиям сходимости. По условию требуется существования

, такого, что | ( )′| ≤ < 1. Имеем | ( )′| = 1 − ′( ). Отсюда получаем следующие ограничения: Во-первых ′( ) > 0. По графику видим, что производная исходной функции положительна на всем отрезке, следовательно

коэффициент должен быть положительным. Во вторых |1 − ′( )| ≤ <

4

( ) = − 0.3 ( ).

За произвольное приближение возьмем 0 = .

Исследуем экспериментально скорость сходимости метода. Согласно неравенству | − | < | − −1| метод имеет линейный порядок сходимости.

Результаты эксперимента занесены в табл. 1.

Проведем вычисление корня функций ( ) и исследуем скорость сходимости метода при помощи программы, приведенной в приложении А.

Программа вычисляет корень уравнения методом Ньютона. На вход ей подаются следующие параметры: X – начальное приближение корня, eps – требуемая точность вычисления корня, delta – погрешность вычисления значений функции, PHI – функция, итеративно приближающая корень. В табл. 1

приведены расчеты корня при различных значениях delta и eps, и

представлены значения количества итераций.

Таблица 1 – Расчет корня методом простой итерации с варьированием значения eps и delta